Proszę o pomoc
1\(\displaystyle{ -2 x^{4}+4 x^{3} +6x ^{2} \le 0}\)
2 \(\displaystyle{ x^{3}+2 x^{2} -9x-18 >0}\)
nierówności wielomianowe
-
ca?a w chmurach
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 29 maja 2009, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 3 razy
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
nierówności wielomianowe
w 1. wyłączamy przed nawias ile się da, a da się \(\displaystyle{ -2x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ -2x ^{2}(x ^{2} - 2x - 3) \le 0}\)
z tego w nawiasie liczymy deltę
\(\displaystyle{ delta = 4 - 4*1*(-3) = 16 \Rightarrow \sqrt{delta} = 4}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{2 - 4}{2} = -1}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3}\)
...............................
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x - 3}\) możesz przedstawić jako \(\displaystyle{ (x+1)(x-3)}\)
i w takiej postaci podstawiamy do nierówności
\(\displaystyle{ -2x ^{2}(x+1)(x-3) \le 0}\) dzielimy obustronnie przez 2
\(\displaystyle{ -x ^{2}(x+1)(x-3) \le 0}\)
teraz rysujemy oś i powstaje coś takiego:
... 1f32e.html
zasada jest taka:
najpierw zaznaczasz na osi punkty, które są rozwiązaniem równań: np rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ -x^{2} = 0}\) jest 0
\(\displaystyle{ (x+1) = 0}\) jest -1
\(\displaystyle{ (x-3)}\) jest 3
jak rysujesz wykres nierówności, to zaczynasz zawsze od prawej strony osi x
Patrzysz na współczynnik przed najwyższą potęgą przed x-sem - w tej nierówności jest to potęga druga ( bo jest \(\displaystyle{ -x ^{2}}\)) Współczynnik ten jest równy -1 więc jest ujemny.
Zasada jest taka: jak ten współczynnik jest ujemny, wykres rysujemy od dołu, jak dodatni, to od góry.
Wykres zaczynamy od dołu osi x-sów (z prawej jej strony). Następnie prowadzimy wykres do najbliższego punktu, który jest rozwiązaniem równania, (w tym przypadku -1). I tutaj zasada jest taka: jeżeli równanie (x+1)=0 którego rozwiązaniem jest własnie -1. gdyby (x+1) było podniesione do parzystej potęgi, tj 2, 4, 6, 8 itd to wtedy wykres by się odbijał od tego punktu. A jak (x+1) jest podniesione do potęgi nieparzystej, tj 1, 3, 5 ,7 (w tym przypadku do potęgi 1) to wykres przechodzi na drugą stronę osi x-sów.
Prowadzimy w ten sposób wykres do końca (aż do lewej strony osi x), a następnie odczytujemy takie x-sy, które są \(\displaystyle{ \le 0}\) I te x-sy są rozwiązaniem nierówności.
2.
Zastosujemy tutaj grupowanie wyrazów.
\(\displaystyle{ x ^{2}(x+1) - 9(x+1) = 0}\)
Grupujesz tak, by w każdym nawiasie było to samo wyrażenie
to można przedstawić jako:
\(\displaystyle{ (x ^{2}- 9)(x+1) = 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ (x-3)(x+3)(x+1) = 0}\)
rysujemy oś i zaznaczamy na niej liczby: \(\displaystyle{ -3, -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\)
wykres zaczynamy tym razem od góry, bo współczynniki przy x-sach (x-3), (x+3) jak i (x+1) to 1, więc są dodatnie, a nie ma x-sów z wyższymi potęgami, np nie ma \(\displaystyle{ (x + 3) ^{2}}\) czy \(\displaystyle{ (-3x + 2) ^{5}}\) takich rzeczy w równaniu itp.
wykres już nie będzie się "odbijał", tylko będzie taki naturalny jak sinusoida, bo zarówno (x-3), (x+3) jak i (x+1) to wyrażenia do potęgi 1, a więc do potęgi nieparzystej.
Po narysowaniu wykresu zostaje Ci odczytanie z niego x-sów \(\displaystyle{ > 0}\).
\(\displaystyle{ -2x ^{2}(x ^{2} - 2x - 3) \le 0}\)
z tego w nawiasie liczymy deltę
\(\displaystyle{ delta = 4 - 4*1*(-3) = 16 \Rightarrow \sqrt{delta} = 4}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{2 - 4}{2} = -1}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3}\)
...............................
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2x - 3}\) możesz przedstawić jako \(\displaystyle{ (x+1)(x-3)}\)
i w takiej postaci podstawiamy do nierówności
\(\displaystyle{ -2x ^{2}(x+1)(x-3) \le 0}\) dzielimy obustronnie przez 2
\(\displaystyle{ -x ^{2}(x+1)(x-3) \le 0}\)
teraz rysujemy oś i powstaje coś takiego:
... 1f32e.html
zasada jest taka:
najpierw zaznaczasz na osi punkty, które są rozwiązaniem równań: np rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ -x^{2} = 0}\) jest 0
\(\displaystyle{ (x+1) = 0}\) jest -1
\(\displaystyle{ (x-3)}\) jest 3
jak rysujesz wykres nierówności, to zaczynasz zawsze od prawej strony osi x
Patrzysz na współczynnik przed najwyższą potęgą przed x-sem - w tej nierówności jest to potęga druga ( bo jest \(\displaystyle{ -x ^{2}}\)) Współczynnik ten jest równy -1 więc jest ujemny.
Zasada jest taka: jak ten współczynnik jest ujemny, wykres rysujemy od dołu, jak dodatni, to od góry.
Wykres zaczynamy od dołu osi x-sów (z prawej jej strony). Następnie prowadzimy wykres do najbliższego punktu, który jest rozwiązaniem równania, (w tym przypadku -1). I tutaj zasada jest taka: jeżeli równanie (x+1)=0 którego rozwiązaniem jest własnie -1. gdyby (x+1) było podniesione do parzystej potęgi, tj 2, 4, 6, 8 itd to wtedy wykres by się odbijał od tego punktu. A jak (x+1) jest podniesione do potęgi nieparzystej, tj 1, 3, 5 ,7 (w tym przypadku do potęgi 1) to wykres przechodzi na drugą stronę osi x-sów.
Prowadzimy w ten sposób wykres do końca (aż do lewej strony osi x), a następnie odczytujemy takie x-sy, które są \(\displaystyle{ \le 0}\) I te x-sy są rozwiązaniem nierówności.
2.
Zastosujemy tutaj grupowanie wyrazów.
\(\displaystyle{ x ^{2}(x+1) - 9(x+1) = 0}\)
Grupujesz tak, by w każdym nawiasie było to samo wyrażenie
to można przedstawić jako:
\(\displaystyle{ (x ^{2}- 9)(x+1) = 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ (x-3)(x+3)(x+1) = 0}\)
rysujemy oś i zaznaczamy na niej liczby: \(\displaystyle{ -3, -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\)
wykres zaczynamy tym razem od góry, bo współczynniki przy x-sach (x-3), (x+3) jak i (x+1) to 1, więc są dodatnie, a nie ma x-sów z wyższymi potęgami, np nie ma \(\displaystyle{ (x + 3) ^{2}}\) czy \(\displaystyle{ (-3x + 2) ^{5}}\) takich rzeczy w równaniu itp.
wykres już nie będzie się "odbijał", tylko będzie taki naturalny jak sinusoida, bo zarówno (x-3), (x+3) jak i (x+1) to wyrażenia do potęgi 1, a więc do potęgi nieparzystej.
Po narysowaniu wykresu zostaje Ci odczytanie z niego x-sów \(\displaystyle{ > 0}\).