równania wielomianowe

[pamela696]

Mam problem z dwoma przykładami:

1) \(\displaystyle{ x^{3} + x - 2 = 0}\) w książce mam podaną wskazówkę, że x= -x+2x i jak to obliczam to wychodzi tylko nie wiem skąd im się wzięła ta wskazówka
2) \(\displaystyle{ 2x^{4} - 13x^{2}+6=0}\) tutaj już nie mam pojęcia (wskazówki nie ma)

[maise]

\(\displaystyle{ x^3-x^2+x^2-x+2x-2=x^2(x-1)+x(x-1)+2(x-1)}\)

oblicz dalej-- 27 maja 2009, 18:33 --w drugim najlepiej użyj zmiennej pomocniczej (tak to się bodajże nazywa)

\(\displaystyle{ x^2=t\\}\)

i masz wówczas równanie kwadratowe, potem podajesz x:
\(\displaystyle{ x= \sqrt{t}}\)

[pamela696]

ja 1) obliczyłam tak:
\(\displaystyle{ x^{3} -x+2x - 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ x(x^{2}-1)+2(x - 1) = 0}\)
\(\displaystyle{ x(x-1)(x+1) +2(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1) [x(x+1)+2] = 0}\)
i wyszło, że x należy {1}
Ale nie wiem z czego oni podawali te wskazówki???

[loitzl9006]

też nie wiem skąd się wzięła wskazówka...

a co do 2)

podstawiasz za \(\displaystyle{ x ^{2}}\) pomocniczą zmienną , np. \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} = t}\)

\(\displaystyle{ 2t ^{2} - 13t + 6 = 0}\)

delta = \(\displaystyle{ 169 - 4 * 2 * 6 = 121}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta} = 11}\)

\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{13 - 11}{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ t_{2} = \frac{13 + 11}{2} = 12}\)

Rozważamy dwa przypadki:
I. \(\displaystyle{ t=1}\)
II. \(\displaystyle{ t=12}\)

I. \(\displaystyle{ x^{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ x = 1 \vee x = -1}\)

II. \(\displaystyle{ x^{2} = 12}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{12} \vee x = - \sqrt{12}}\)
\(\displaystyle{ x = 2 \sqrt{3} \vee x = -2 \sqrt{3}}\)

Czyli równanie ma cztery rozwiązania: \(\displaystyle{ -2 \sqrt{3} , 2 \sqrt{3}, 1 i -1}\).

[maise]

tj \(\displaystyle{ x=1}\), dobrze zrobiłaś
wskazówka pewnie po to, by wiedzieć jak ten wielomian rozłożyć na czynniki

[pamela696]

w 2) jest inny wynik niż wyszedł loitzl9006!

[loitzl9006]

Mój błąd..

powinno być:

\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{13-11}{2*2} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ t _{2} = \frac{13+11}{2*2} = 6}\)

I. przypadek:
\(\displaystyle{ x ^{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

II. przypadek:
\(\displaystyle{ x ^{2} = 6}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt{6} \vee x = - \sqrt{6}}\)

czyli x może być równe \(\displaystyle{ - \sqrt{6}, \sqrt{6}, \frac{ \sqrt{2} }{2}, - \frac{ \sqrt{2} }{2} }}\)

To już na pewno jest dobrze, bo sprawdziłem. Sory za wcześniejsze błędy.