z parametrem

Łukash · Post autor: **Łukash** » 2 mar 2006, o 07:57

Dla jakich wartości rzeczywistych parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie \(\displaystyle{ x+k \sqrt{x} - k=0}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych?

florek177 · Post autor: **florek177** » 2 mar 2006, o 11:48

Wyrażenie \(\displaystyle{ k{\cdot}sqrt{x}=k-x}\) stronami podnieś do kwadratu i \(\displaystyle{ {\Delta}}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 2 mar 2006, o 13:21

Ja bym tutaj niczego do kwadaratu nie podnosił... i zrobił to tak:
Zał: \(\displaystyle{ \sqrt{x}=z, z \in }\)
\(\displaystyle{ z^2+kz-k=0}\)
Nasze podstawowe równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ z^2+kz-k=0}\) nie ma pierwiastków lub ma pierwiastki ujemne.
Dla tej pierwszej możliwości mamy warunek \(\displaystyle{ \Delta}\) czyli rozwiązujemy nierówność:
\(\displaystyle{ k^2+4k}\)
\(\displaystyle{ k(k+4)}\)
\(\displaystyle{ k \in (-4;0)}\)
Aby zachodziła druga możliwość muszą spełnione być warunki: \(\displaystyle{ \Delta \geq 0 \wedge \frac{-k}{1}0}\) ( te dwa ostatnie są oczywiście wynikiem podstawienia z wzorów Viete'a, aby spełnić warunek, że te dwa pierwiastki będą ujemne, a dzieje się tak wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna). Częścią wspólną tych warunków jest zbiór pusty, więc ostateczna odpowiedź brzmi : Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdy parametr \(\displaystyle{ k \in (-4;0)}\).

juzef · Post autor: **juzef** » 2 mar 2006, o 13:30

A nie brakuje przypadku, gdy równanie kwadratowe posiada pierwiastki ujemne?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 2 mar 2006, o 15:04

Tak, brakuje - posta poprawiłem