z parametrem
z parametrem
Dla jakich wartości rzeczywistych parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie \(\displaystyle{ x+k \sqrt{x} - k=0}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych?
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
z parametrem
Ja bym tutaj niczego do kwadaratu nie podnosił... i zrobił to tak:
Zał: \(\displaystyle{ \sqrt{x}=z, z \in }\)
\(\displaystyle{ z^2+kz-k=0}\)
Nasze podstawowe równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ z^2+kz-k=0}\) nie ma pierwiastków lub ma pierwiastki ujemne.
Dla tej pierwszej możliwości mamy warunek \(\displaystyle{ \Delta}\) czyli rozwiązujemy nierówność:
\(\displaystyle{ k^2+4k}\)
\(\displaystyle{ k(k+4)}\)
\(\displaystyle{ k \in (-4;0)}\)
Aby zachodziła druga możliwość muszą spełnione być warunki: \(\displaystyle{ \Delta \geq 0 \wedge \frac{-k}{1}0}\) ( te dwa ostatnie są oczywiście wynikiem podstawienia z wzorów Viete'a, aby spełnić warunek, że te dwa pierwiastki będą ujemne, a dzieje się tak wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna). Częścią wspólną tych warunków jest zbiór pusty, więc ostateczna odpowiedź brzmi : Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdy parametr \(\displaystyle{ k \in (-4;0)}\).
Zał: \(\displaystyle{ \sqrt{x}=z, z \in }\)
\(\displaystyle{ z^2+kz-k=0}\)
Nasze podstawowe równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe \(\displaystyle{ z^2+kz-k=0}\) nie ma pierwiastków lub ma pierwiastki ujemne.
Dla tej pierwszej możliwości mamy warunek \(\displaystyle{ \Delta}\) czyli rozwiązujemy nierówność:
\(\displaystyle{ k^2+4k}\)
\(\displaystyle{ k(k+4)}\)
\(\displaystyle{ k \in (-4;0)}\)
Aby zachodziła druga możliwość muszą spełnione być warunki: \(\displaystyle{ \Delta \geq 0 \wedge \frac{-k}{1}0}\) ( te dwa ostatnie są oczywiście wynikiem podstawienia z wzorów Viete'a, aby spełnić warunek, że te dwa pierwiastki będą ujemne, a dzieje się tak wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna). Częścią wspólną tych warunków jest zbiór pusty, więc ostateczna odpowiedź brzmi : Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdy parametr \(\displaystyle{ k \in (-4;0)}\).
Ostatnio zmieniony 2 mar 2006, o 15:02 przez Tristan, łącznie zmieniany 1 raz.