Znaleźć pierwiastki wielomianu

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 15 maja 2009, o 23:50

Czy da się znaleźć pierwiastki takiego wielomianu:

\(\displaystyle{ x^4-3x^2+10x-20 = 0}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 maja 2009, o 00:13

Da się - są na to wzory. Zajrzyj np tutaj.

Pozdrawiam.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 16 maja 2009, o 00:20

Ale bez stosowania tej wiedzy, potrzebuję te pierwiastki do zwykłego zadania maturalnego...

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 maja 2009, o 00:30

Bartek1991 pisze:Ale bez stosowania tej wiedzy, potrzebuję te pierwiastki do zwykłego zadania maturalnego...

Bez stosowania metody Ferrariego albo metody Descartesa Eulera
możesz jedynie sprawdzić czy dzielniki wyrazu wolnego są pierwiastkami wielomianu
następnie podziel wielomian

(1.852225119185215+,3.3306690738754696E-16*I)
(0.548046352934197-1.8335792183048003*I)
(0.5480463529341979+1.8335792183047994*I)
(-2.9483178250536097+3.3306690738754696E-16*I)

Oto pierwiastki z programu który napisałem w Javie

Pierwiastki jak widać nie są dzielnikami wyrazu wolnego
więc trzeba zastosować albo metodę Ferrariego albo
metodę Descartesa-Eulera

Maciek.mat · Post autor: **Maciek.mat** » 16 maja 2009, o 01:01

Zajrzałem do adresu podanego przez BettyBoo i jak widzę artykuł o równaniu trzeciego stopnia nie został dokończony. Fajnie mi się czytało, Rogal ma dryg do pisania. Ale kiedy będą dokończone informację o tym, jak Cardano znajdywał te wzory?
A co do tego równania trzeba pogrupować, a nie próbować rozwiązać to rozkładaniem, co powszechnie stosuje się w równaniach kwadratowych. Na teraz nie mam pomysłów.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 maja 2009, o 01:07

Masz tu adres do pdfa w którym wszystko jest w miarę dobrze wyjaśnione

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 16 maja 2009, o 16:16

Potrzebuję to do takiego zadania:
Liczby \(\displaystyle{ x-7, x^2-1, x-3}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.

Z własności ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{x^2-1}{x-7} = \frac{x-3}{x^2-1}}\) i po prostych przekształceniach otrzymuję
\(\displaystyle{ x^4-3x^2 + 10x - 20 = 0}\)
Jak to rozwiązać?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 maja 2009, o 17:18

Dzięki za miłą opinię - artykuł zostanie dokończony "kiedyś"

Co do tego równania, to ma ono dwa pierwiastki rzeczywiste (jak widać Java kłamie ;p), ale po krótkiej analizie nie wygląda, by dało się je wyrazić w "ludzkiej" postaci.
Musi być jakiś błąd w tym zadaniu - gdybyś miał odpowiedź, czy jakiś klucz, to podaj, to spróbuję Ci tak przerobić warunki początkowe, by pasowały do rozwiązania.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 maja 2009, o 21:21

Rogal pisze:Dzięki za miłą opinię - artykuł zostanie dokończony "kiedyś"
Co do tego równania, to ma ono dwa pierwiastki rzeczywiste (jak widać Java kłamie ;p), ale po krótkiej analizie nie wygląda, by dało się je wyrazić w "ludzkiej" postaci.
Musi być jakiś błąd w tym zadaniu - gdybyś miał odpowiedź, czy jakiś klucz, to podaj, to spróbuję Ci tak przerobić warunki początkowe, by pasowały do rozwiązania.

Program w Javie nie kłamie a to że wyświetlił liczby zespolone to wie Rogal coś o błędzie dokładności
związanym z reprezentacją liczby na maszynie

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 maja 2009, o 23:35

Ja tam coś wiem o błędzie dokładności, ale nie sądziłem, że można liczby rzeczywiste "przybliżać" zespolonymi.
Coś spartoliłeś i nie kręć, tylko błędu poszukaj, bo póki co program daje bzdurne wyniki.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 17 maja 2009, o 02:24

Rogal pisze:Ja tam coś wiem o błędzie dokładności, ale nie sądziłem, że można liczby rzeczywiste "przybliżać" zespolonymi.
Coś spartoliłeś i nie kręć, tylko błędu poszukaj, bo póki co program daje bzdurne wyniki.

Jeżeli chcesz to mogę przesłać Tobie kod tego programu w Javie abyś go przejrzał i poszukał błędów

Ja uważam że to przez błąd dokładności części urojone dobrze się nie wyzerowały

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 maja 2009, o 09:18

Nie nie, nie trzeba - teraz przyjrzawszy się im lepiej (bo takie odpychające) widzę, że tam na końcu jest jeszcze dziesięć do minus szesnastej, więc faktycznie kwestia przybliżenia.
Tylko teraz mnie zastanawia, jaką metodę zastosowałeś - nauczyłeś go wzorów Ferrariego? Bo właśnie nie wygląda na to, by jakaś metoda stycznych/siecznych/czegoś dawała wyniki zespolone.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 17 maja 2009, o 20:12

Rogal pisze:Nie nie, nie trzeba - teraz przyjrzawszy się im lepiej (bo takie odpychające) widzę, że tam na końcu jest jeszcze dziesięć do minus szesnastej, więc faktycznie kwestia przybliżenia.
Tylko teraz mnie zastanawia, jaką metodę zastosowałeś - nauczyłeś go wzorów Ferrariego? Bo właśnie nie wygląda na to, by jakaś metoda stycznych/siecznych/czegoś dawała wyniki zespolone.

Ta aplikacja w Javie dziedziczy po JFrame
Ma jeden obiekt klasy JTextField do zmiany dokładności
Dwa obiekty klasy JRadioButton do wyboru metody
do dyspozycji mamy metodę Descartesa-Eulera oraz
metodę Ferrariego
Dwa obiekty klasy JTable do przechowywania współczynników wielomianu
oraz pierwiastków wielomianu
Jeden obiekt klasy JButton
Zdarzenie związane z tym obiektem powoduje obliczenie pierwiastków
i wyświetlenie ich
Aplikacja zawiera też dwa obiekty klasy JLabel

Pierwiastki tego wielomianu obliczone metodą Descartesa-Eulera
Jest to metoda będąca rozszerzeniem metody del Ferro-Fontany dla równań trzeciego stopnia
Rozszerzeniem ponieważ pierwiastki obliczane są analogicznie

Na potrzeby tego programu napisałem klasę liczb zespolonych .
Jest ona trochę niewygodna w użyciu ponieważ
w Javie nie można przeciążać operatorów

Zna Rogal metodę del Ferro-Fontany dla równań trzeciego stopnia ?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 maja 2009, o 20:14

Heh, mów do mnie nazwami metod - ja znam metodę Ferrariego i swoją ;p.
W sumie to znam jeszcze jedną, analogiczną do metody Tartaglii dla równania sześciennego, ale ona mi się nigdy nie podobała.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 18 maja 2009, o 02:00

Rogal pisze:Heh, mów do mnie nazwami metod - ja znam metodę Ferrariego i swoją ;p.
W sumie to znam jeszcze jedną, analogiczną do metody Tartaglii dla równania sześciennego, ale ona mi się nigdy nie podobała.

Domyślam się że twoja metoda polega na wymnożeniu dwóch równań kwadratowych
postaci i przyrównaniu tego iloczynu do zredukowanego wielomianu czwartego stopnia

\(\displaystyle{ \left( x^2+px+q\right) \left( x^2+rx+s\right)=x^4+b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}}\)

następnie trzeba rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+r=0 \\ s+q=b_{2}+p^2 \\s-q= \frac{b_{1}}{p} \\ sq=b_{0} \end{cases}}\)

Równanie rozwiązujące układamy korzystając z

\(\displaystyle{ \left( s+q\right)^2- \left( s-q\right)^2=4sq}\)

Jest to metoda zbliżona do metody Ferrariego