Wielomian/Analiza/Tok działania

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 09:01

Dzień dobry mam problem z takim o to wielomianem
\(\displaystyle{ x ^3-12x^2+6=0}\)
nie wiem w ogóle od czego zacząc
z góry dziękuję i pozdrawiam

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 11 maja 2009, o 09:30

Sprawdź czy, któryś z dzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem równania.

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 09:34

Nie jest. Ten wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste ale dosyć brzydkie.

\(\displaystyle{ x _{1} \approx -0,687}\)
\(\displaystyle{ x _{2} \approx 0,729}\)
\(\displaystyle{ x _{3} \approx 11,958}\)

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 09:50

moze pokazac mi pan pokazac jak doszedł pon do tego

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 09:54

mania21 pisze:moze pokazac mi pan pokazac jak doszedł pon do tego

Są na to wzory.

Najpierw podstawienie: \(\displaystyle{ x=y+4}\) żeby pozbyć się kwadratu.
Po redukcji zostaje nam: \(\displaystyle{ y ^{3}-48y-122=0}\)
Czyli w naszym wypadku \(\displaystyle{ p=-48 \wedge q=-122}\)
Liczymy wyróżnik: \(\displaystyle{ \Delta=( \frac{1}{3}p) ^{3}+( \frac{1}{2}q) ^{2}=-375}\)
Wyróżnik jest ujemny więc wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste.
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{3q}{2p \sqrt{- \frac{1}{3}p}}= \frac{61}{64}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \alpha \approx 17,6 ^{o}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y _{1}=2 \sqrt{- \frac{1}{3}p } \cdot cos (\frac{1}{3} \cdot \alpha ) \approx 7,958 \\ y _{2}= 2 \sqrt{- \frac{1}{3}p } \cdot cos (\frac{1}{3} \cdot (360+\alpha) ) \approx -4,687\\ y _{3}=2 \sqrt{- \frac{1}{3}p } \cdot cos( \frac{1}{3} \cdot (720+\alpha )) \approx -3,271\end{cases}}\)

Teraz wracamy na \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} \approx 11,958 \\ x _{2} \approx -0,687 \\x _{3} \approx 0,729 \end{cases}}\)

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 10:05

może pokazac Pan mi te wzory albo jak Pan to rozwiązywał byłbym bardzo wdzięczny-- 11 maja 2009, o 10:08 --A mógłby Pan rozpisac mi to zadanie krok po kroku

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 10:10

mania21 pisze:A mógłby Pan rozpisac mi to zadanie krok po kroku

A nie rozpisałem?
Jeśli czegoś nie rozumiesz to napisz konkretnie w którym miejscu.

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 10:15

dlaczego i za co podstawiamy y=x+4 i jeśli mogłby pan napisac jak te wzory sie nazywają-- 11 maja 2009, o 10:17 --A mógłby pan rozpisac to zadanie jak dla nowicjusza a wytłumaczeniem

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 10:21

Tam wyżej trochę źle zapisałem. Poprawione ma być \(\displaystyle{ x=y+4}\)
Podstawienie jest po to by pozbyć się wyrażenia \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i otrzymać postać która kwalifikuje się na powyższe wzory. A dlaczego \(\displaystyle{ x=y+4}\) to wynika bezpośrednio ze współczynnika przy \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i wzorów skróconego mnożenia. Wstaw i wylicz a zobaczysz dokładnie jak to działa.

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 10:27

nadal nie rozumiem a więc proszę pan bardzo aby pan rozpisał to jak dla głupka i tak dziękuje co pan dla mnie zrobił

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 10:33

mania21 pisze:nadal nie rozumiem a więc proszę pan bardzo aby pan rozpisał to jak dla głupka i tak dziękuje co pan dla mnie zrobił

Po pierwsze to bez pan jeszcze do tego nie dorosłem
Po drugie to że czegoś nie rozumiesz nie znaczy że jesteś głupkiem. Każdy nowy materiał wydaje się trudny.

\(\displaystyle{ (y+4) ^{3}-12(y+4) ^{2}+6=0}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}+12y ^{2}+48y+64-12y ^{2}-96y-192+6=0}\)
\(\displaystyle{ y ^{3}-48y-122=0}\)

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 10:43

jakie są to wzory dokładna nazwa i po co liczymy ten wyróżnik

-- 11 maja 2009, o 10:44 --

podam swoje gg i wytłumaczysz mi lepiej 6309361 prosze o odpowiedz

-- 11 maja 2009, o 10:47 --

: \(\displaystyle{ \Delta=( \frac{1}{3}p) ^{3}+( \frac{1}{2}q) ^{2}=-375}\) skąd to sie wzieło-- 11 maja 2009, o 10:54 --do jakiej postaci podstawiamy wyliczone y-greki

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 10:55

mania21 pisze:jakie są to wzory dokładna nazwa i po co liczymy ten wyróżnik

Na równanie trzeciego stopnia mamy wzory Cardano.
... go_stopnia
... haslo.html
http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node127.html

Ja podałem postać trygonometryczną wzorów która znajduje się w książce "Analiza matematyczna w zadaniach" W. Krysicki, L. Włodarski

Co do tłumaczenia to znając postać ogólną wzorów nie ma co tłumaczyć bo tylko wstawiamy konkretne wartości.

Nawiązując do wyróżnika to jest on po to aby określić liczbę pierwiastków:
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)mamy 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 zespolone
\(\displaystyle{ \Delta<0}\) mamy 3 pierwiastki rzeczywiste
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) mamy 2 pierwiastki rzeczywiste z czego jeden jest podwójny

mania21 pisze:do jakiej postaci podstawiamy wyliczone y-greki

W tym wypadku do wzoru \(\displaystyle{ x=y+4}\)

mania21 · Post autor: **mania21** » 11 maja 2009, o 11:23

wzór \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{3q}{2p \sqrt{- \frac{1}{3}p}}= \frac{61}{64}}\) jak sie nazywa i skąd sie wzioł

-- 11 maja 2009, o 11:30 --

proszę o odpowiedz w sprawie cos

-- 11 maja 2009, o 11:47 --

dlaczego wziałes kąty 360 i 720 stopni-- 11 maja 2009, o 11:49 --proszę o odpowiedz

mcbob · Post autor: **mcbob** » 11 maja 2009, o 12:10

Wzór \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{3q}{2p \sqrt{- \frac{1}{3}p}}}\)
Chyba wiesz co oznaczają \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).
Po prostu tak wygląda ten wzór, a my do niego wstawiamy konkretne \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) co w tym przypadku dało nam wartość \(\displaystyle{ \frac{61}{64}}\).

mania21 pisze:dlaczego wziałes kąty 360 i 720 stopni

Bo we wzorze mamy \(\displaystyle{ x _{k+1}=2 \sqrt{- \frac{1}{3}p} \cdot cos (\frac{1}{3} \cdot ( \alpha +2k\pi))}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \lbrace 0;1;2 \rbrace}\)