sprawdzenie czy podana liczba jest pierwiastkiem równania

[agotowka]

Witam!
Nie mogę sobie poradzić z tymi zadaniami:
1. Sprawdź, że podana liczba jest pierwiastkiem równania, a następnie znajdź jego pozostałe pierwiastki.
a) \(\displaystyle{ 2x ^{3} - x ^{2} - 8x + 4 = 0}\) ; 2
b) \(\displaystyle{ 6x ^{3} - 29x ^{2} - 6x + 5 = 0}\) ; 5
c) \(\displaystyle{ x ^{3} + 7x ^{2} - 5x - 75 = 0}\); 3
d) \(\displaystyle{ 4x ^{3} - 4x ^{2} - 15x + 18 = 0}\) ; -2
e) \(\displaystyle{ x ^{4} + x ^{3} - 14x ^{2} + 2x + 24 = 0}\); -3
f) \(\displaystyle{ x ^{4} + 8x ^{3} +19x ^{2} +32x + 60 = 0}\); -5

2. Sprawdź, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) i rozłóż ten wielomian na czynniki stopnia pierwszego.
a) \(\displaystyle{ W(x) = 3x ^{3} - 35x ^{2} + 48x + 20}\) ; a=10
b) \(\displaystyle{ W(x) = 10x ^{3} + 63x ^{2} - 48x + 7}\) ; a= -7
c) \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} + 7x ^{3} + 2x ^{2} - 28x - 24}\) ; a=-6
d) \(\displaystyle{ W(x) = 2x ^{4} - 3x ^{3} - 24x ^{2} + 6x + 40}\) ; a=4

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zdań i wytłumaczeniu na czym to polega, bo niestety nie bardzo wiem co z tym zrobić

[MistyKu]

Podstaw pod x podana liczbe i sprawdz czy rownanie jest rowne 0. Nastepnie za pomoca tabelki hornera znajdz pozostale pierwiastki :Q

[agotowka]

Czyli w zadaniu pierwszym w przykładzie b) podstawiamy te 5, wychodzi 0, robimy tabelkę z dzielenia:
\(\displaystyle{ (6x ^{3} - 29x ^{2} - 6x + 5) : (x-5) = x ^{2} - 24x - 126}\) i reszta: -625

i co dalej?

[MistyKu]

Ty ale cos musialas zle podzielic przez dwumian x-5, bo skoro liczba jest pierwiastkiem wielomianu to reszta z dzielenia przez ten dwumian wynosi 0 : D

[agotowka]

no tak, przykład b) udało już mi się pokonać, teraz walczę z przykładem c)
tutaj po podstawieniu, wynik nie równa się 0, czyli 3 nie jest pierwiastkiem wielomianu, ale w zadaniu pisze, że trzeba policzyć jakie są, więc
doszłam do momentu \(\displaystyle{ (x-3)(x ^{2} + 10x + 25)}\)
i tutaj delta równa jest 0 czyli korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ x= \frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x=-5}\)
i co dalej?

i proszę o kilka słów o zadaniu 2

[MistyKu]

@up jesli nie jest pierwiastkiem wielomianu, to nie mozesz zapisac tak jak zapisalas, znajdz inny pierwiastek z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych sprobuj znalezc inny i rozlozyc go za pomoca innego pierwiastka. Co do zadania drugiego jest dokladnie tak samo. musisz rozlozyc wielomian do postaci iloczynowej np (x-1)(x+2)(x-3), czyli tak samo znalezc jego wszystkie miejsca zerowe

[yaszko]

Robimy tabelkę hornera dla liczby 5 i sprawdzamy że 5 jest pierwiastkiem wielomianu. Zapisujemy wielomian dzięki tabelce jako:
\(\displaystyle{ (6x^{2}+x-1)(x-5)=0}\)
Przyrównujemy do zera aby odnaleźć pozostałe pierwiastki:
\(\displaystyle{ 6x^{2}+x-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{-1-5}{12} \vee x= \frac{-1+5}{12}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2} \vee x= \frac{1}{3}}\)

co do przykładu c)
z tabelki wynika że 3 jest pierwiastkiem więc policz dobrze pozostałe pierwiastki liczysz jak wyżej czyli
\(\displaystyle{ x^{2}+10x+25=0}\)
\(\displaystyle{ (x+5)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x=-5}\)

co do zadania 2:
jak w zad1 sprawdzasz czy liczba jest pierwiastkiem (polecam tabelkę ) i zapisujesz wielomian jako iloraz:
np przykład 1:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-10)(3x^{2}-5x-2)}\)
Liczysz pierwiastki drugiego nawiasu z delty:
\(\displaystyle{ x=- \frac{1}{3} \vee x=2}\)
Zapisujesz jako a(x-a)(x-b) czyli:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-10)3(x+ \frac{1}{3})(x-2)}\)

[agotowka]

yaszko, czyli liczba jest pierwiastkiem, jeżeli po zrobieniu tabelki nie występuje reszta? Czyli we wszystkich przykładach z zadnia 1 te liczby są pierwiastkami, bo reszta w tabelce nie występuje?

[yaszko]

Jeśli ostanie pole z prawej strony tabelki wychodzi 0 to nie ma reszty więc liczba podstawiona jest pierwiastkiem

// Nie we wszystkich przykładach, bo na przykład w e) wychodzi reszta równa -54

[agotowka]

\(\displaystyle{ W(x)=(x-10)3(x+ \frac{1}{3})(x-2)}\)[/quote]
a dlaczego tutaj występuje 3 przed \(\displaystyle{ (x + \frac{1}{3} )}\)?

a mi wyszło 0 reszty w przykładzie e) \(\displaystyle{ (x ^{3} - 4x ^{2} - 2x + 8)(x+3)}\)
\(\displaystyle{ (x+3) (x+ \sqrt{2} )(x - \sqrt{2} )(x-4)}\)

[yaszko]

Wyżej mała usterka się wdarła, postać iloczynowa brzmi:
\(\displaystyle{ y=a(x-x_1)(x-x_2)}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_1 i x_2}\) to pierwiastki a współczynnik \(\displaystyle{ a}\) to liczba przy najwyższej potędze czyli tutaj 3

przykład e) własnoręcznie

AU

282khs7.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 1112 razy

[agotowka]

faktycznie, dzięki
Zadanie rozwiązane