Rozwiąż nierówność

[Vill]

\(\displaystyle{ ( x^{2} - 1 ) ^{4} - 2 ( x^{2} - 1) ^{2} - 8 \le 0}\)

Przychodzi mi do głowy tylko podstawienie ale nie wiem do końca czy dobrze to robie.
Z podstawionego t wychodzi przedział a następnie wyliczając x wychodzą różne wyniki i nie wiem co wstawić do granic przedziału.
A podstawić nawias spowrotem do równania nie wiem czy można bo są założenia.

Także proszę o pomoc.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ t=(x^2-1)^2}\). Mamy \(\displaystyle{ t^2-2t-8\leq 0}\), czyli \(\displaystyle{ t^2+2t-4t-8\leq 0}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ t(t+2)-4(t+2)\leq 0}\), tj. \(\displaystyle{ (t+2)(t-4)\leq 0}\).
Wracając od podstawienia mamy teraz \(\displaystyle{ [(x^2-1)^2+2][(x^2-1)^2-4]\leq 0}\). Pierwszy czynnik iloczynu po lewej stronie ostatniej nierówności jest zawsze dodatni, więc nierówność jest równoważna poniższej \(\displaystyle{ (x^2-1)^2-4\leq 0}\). Zatem \(\displaystyle{ (x^2-1-2)(x^2-1+2)\leq 0}\), tj. \(\displaystyle{ (x^2-3)(x^2+1)\leq 0}\). Teraz drugi czynnik iloczynu po lewej stronie nierówności jest zawsze dodatni, więc mamy równoważnie \(\displaystyle{ x^2-3\leq 0}\), czyli \(\displaystyle{ (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\leq 0}\), tj. ostatecznie \(\displaystyle{ x\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]}\).

[matshadow]

\(\displaystyle{ t=(x^2-1)^2\\t^2-2t-8=0\\\Delta=36\\t_1=-2<0\\t_2=4}\)
Tylko \(\displaystyle{ t_2}\) wchodzi w grę.
\(\displaystyle{ (x^2-1)^2=4 \Leftrightarrow x^2-1=2\vee x^2-1=-2 \Leftrightarrow x^2=3 \Leftrightarrow x=\sqrt{3}\vee x=-\sqrt{3}}\)
Ostateczny przedział to \(\displaystyle{ x\in<-\sqrt{3},\sqrt{3}>}\)