Ilość miejsc zerowych

zig · Post autor: **zig** » 9 maja 2009, o 18:33

Konkrety bym prosił, np. punkty miejsc zerowych. Żadnych rachunków różniczkowych.

Aha nie każda funkcja posiada miejsce zerowe! Chociażby zwykła kwadratowa + coś.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 maja 2009, o 18:37

Polecenie brzmi: "ile miejsc zerowych mają funkcje."
Wlasnosc Darboux mowi nam jedynie że miejsce zerowe istnieje. Nic nie mowi o tym w ktorym punkcie ( jedynie ze jest taki punkt jest z przedzialu \(\displaystyle{ (-1, 1)}\))

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 9 maja 2009, o 18:38

zig pisze:Konkrety bym prosił, np. punkty miejsc zerowych. Żadnych rachunków różniczkowych.

Konkrety zostały już zapisane, reszta zależy od Ciebie czy potrafisz wykorzystać informacje, które zostały zapisane w powyższych postach... poprosiłeś o wskazanie ilości miejsc zerowych danych funkcji i temat się już wyczerpał..
Miejscem zerowym w przykładzie pierwszym będzie liczba \(\displaystyle{ c\in (-1,1)}\). Jeśli nie odpowiada, ci aż taka rozbieżność proponuje zmniejszać długość przedziału do takiej, która cię zadowoli...

zig · Post autor: **zig** » 9 maja 2009, o 18:40

kuch2r pisze: To w bardzo prosty sposób możemy wykazać że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{99}+x+1}\) jest ścisle monotoniczna. Ponadto funkcja ta jest ciągła na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Dobra załóżmy że w pierwszym przykładzie jest jedno ale w drugim też widzę jedno. Czemu jest monotoniczna?

Rush · Post autor: **Rush** » 9 maja 2009, o 18:43

Jest monotoniczna poniewaz \(\displaystyle{ f'(x)= 99x^{98} + 1}\) Poniewaz pochodna nie ma miejsc zerowych to oczywistym jest, ze nie ma zadnych ekstremow.

zig · Post autor: **zig** » 9 maja 2009, o 18:46

Rush pisze:Jest monotoniczna poniewaz \(\displaystyle{ f'(x)= 99x^{98} + 1}\) Poniewaz pochodna nie ma miejsc zerowych to oczywistym jest, ze nie ma zadnych ekstremow.

Można trochę jaśniej bo ja nie jestem na razie zbyt głęboko wtajemniczony

edit:Spoko wiem już o co chodzi - że rosnąca jest cały czas.

Ale co z drugim przykładem bo ja widzę jedno miejsce zerowe.

miki999 · Post autor: **miki999** » 9 maja 2009, o 19:13

I ono istnieje. Właśnie z powyżej wspomnianej własności, ale moim zdaniem są 3.

Mamy:
\(\displaystyle{ x(x^{100}+x-1)}\)
Zatem, mamy 1 miejsce zerowe w \(\displaystyle{ 0}\). Następnie mamy w nawiasie f., z której możemy wykazać z własności Darboux, że istnieje jeszcze jedno miejsce zerowe. Ze względu na to, że najwyższa potęga \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzysta, to z ogólnego przebiegu funkcji możemy wywnioskować o istnieniu 3. miejsca zerowego. Czy istnieje ich więcej niż 3? Trudno powiedzieć, tu trzeba by użyć rachunku różniczkowego, ale intuicja mówi, że nie

Pozdrawiam.

zig · Post autor: **zig** » 9 maja 2009, o 19:33

miki999 pisze:I ono istnieje. Właśnie z powyżej wspomnianej własności, ale moim zdaniem są 3.

Mamy:
\(\displaystyle{ x(x^{100}+x-1)}\)
Ze względu na to, że najwyższa potęga \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzysta, to z ogólnego przebiegu funkcji możemy wywnioskować o istnieniu 3. miejsca zerowego.

Przecież w nawiasie masz parzystą potęgę więc nie ma dodatkowego miejsca zerowego.

miki999 · Post autor: **miki999** » 9 maja 2009, o 19:44

Miałem na myśli całą funkcję, czyli \(\displaystyle{ y=x ^{101} +x ^{2} -x}\). Spójrzmy z innej strony.

(1) Spójrz na pewno \(\displaystyle{ 0}\) jest miejscem zerowym naszej funkcji.

(2) Weźmy sobie "jakieś" liczby:
\(\displaystyle{ f(-2)<0 \\ f(-1)=1>0}\)
f. jest ciągła, zatem istnieje w tym przedziale miejsce zerowe.

(3) To samo:
\(\displaystyle{ f(1/2)<0 \\ f(1)>0}\)
To samo, mamy 3. miejsce.

+ jednocześnie widzimy, że (w przybliżeniu) od argumentu \(\displaystyle{ -2}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) nasza funkcja cały czasz maleje/rośnie.
Jeżeli istnieją jeszcze jakieś miejsca zerowe (w co intuicyjnie silnie wątpię patrząc na pochodne), to musisz szukać ich mniej więcej w przedziale (-2;1).

Pozdrawiam.