Wzory Viete'a dla wielomianów i nie tylko

[web_2]

przygotowuje się do konkursów i potrzebuje pomocy w kilku zadaniach są to zadania pewnego typu i jak ktoś mi pomoże rozwiązać jedno dwa do reszty dojdę sam

aha i jeszcze jedno... jeżeli w zadaniu należy wykorzystać , ciągi, średnie tudzież wiadomości 3 klasy lo po prostu napiszcie mi o tym - nie muszę wtedy ich koniecznie umieć

Zadania :
1)Udowodnij że jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c = 0}\) to:

\(\displaystyle{ \frac{ a^{5}+b^{5}+c^{5} }{5} = \frac{ a^{2}+b^{2}+c^{2} }{2} \cdot \frac{ a^{3}+b^{3}+c^{3} }{3}}\)

2)Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunki \(\displaystyle{ xyz >1}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z< \frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\) Udowodnij ze dokladnie jedna z \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\)

3) Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3 \end{cases}}\)

4) Rozłóż na czynniki wielomian
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3-3xyz}\)

5) Dana jest liczba nieparzysta \(\displaystyle{ n}\) oraz takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d,e}\) ze
\(\displaystyle{ n| a+b+c+d+e}\) i \(\displaystyle{ n| a^2+b^+c^2+d^2+e^2}\)

Udowodnij że
\(\displaystyle{ n| a^5+b^5+c^5+d^5+e^5 -5abcde}\)

[Artist]

1.
Zastosuj podstawienie:
\(\displaystyle{ c=-(a+b)}\)
Dalsze rozwiązanie niestety będzie dość brutalne, trzeba mianowicie wypotęgować lewą i prawą.....
Na kartce papieru powinno Ci sie udać, tu jedynie wrzuć gdzie utkniesz bo dżo pisania w Latex-u.
3.
Brakuje czegoś.

4.
\(\displaystyle{ (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-(xy+yz+xz))=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}\)

[web_2]

najpierw pozbędę się ulamków :d a potem podstawie i wymnożę

damy rade :] już dzisiaj robiłem takie rzeczy :d ... najlepiej zrobić tabelkę wtedy masz pewność ze wszystko prze wszystko potem redukcja :]

brakujący fragment ups ;]

3) Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3=20 \end{cases}}\)

biorę się do roboty ... dzięki za pomoc co z 5 ??

[Artist]

3.
\(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}=2^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=4}\)
\(\displaystyle{ 14+2(xz+xy+yz)=4}\)
\(\displaystyle{ xz+yz+xy=-5}\)

\(\displaystyle{ (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-(xy+yz+xz))=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}\)
\(\displaystyle{ 2(14+5)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}\)
\(\displaystyle{ 38=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}\)
\(\displaystyle{ 18=-3xyz \Rightarrow xyz=-6}\)
I teraz pytanie czy to ma być w całkowitych??
Bo jeśli tak to rozkładasz -6 na czynniki i sprawdzasz co Ci pasuje
Będą to 3,1,-2.

[web_2]

okej po redukcji i mozliwych skroceniach w 1 mam cos takiego

\(\displaystyle{ 2a^5+2b^5+5a^3b^2+5a^2b^3+5ab^4+5a^4b=0}\)

cos tu pachnie skroconym mnozeniem ??;] co dalej

w tym ukladzie rownan niestety nie dla calkowitych(nie ma zadnego komentarza)

[Artist]

No w pierwszym zrób tak z lewą i prawą stroną i wyjdzie równość.

[web_2]

użyłem kalkulatora forumowego i znalazłem sobie błędy :] wychodzi L=P tutaj nie ma innego wyjscia jak dostane na konkursie muszę wymnażać ??


a co do tego rozlozenia na czynniki - zadna z 4 metod nie pasuje (wzor skroconego mnozenia , wylaczenie przed nawias, grupowanie itp... ) jak to sie robi ?? na konkursie musze przedstawic jako taki tok myslenia .... czy to jest kwestia wymnazania i sprawdzania co spasuje ??