Oblicz sumę pierwiastków równania.

[Natasha]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3}- a ^{2} x + x ^{2}-a ^{2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ |a| \neq 1}\)

a) oblicz sumę pierwiastków tego wielomianu.
b). Wyznacz wartość parametru a, dla której suma kwadratów pierwiastków wielomianu
W(x) jest możliwie najmniejsza.

No to rozłożyłam ten wielomian na czynniki i wyszlo mi:

\(\displaystyle{ 0=(x ^{2}-a^{2})(x+1)}\)
\(\displaystyle{ x=-1 \vee x ^{2}-a^{2}=0 \Rightarrow a=x}\)

Skoro mam jeden pierwiastek to podstawiam do wzoru funkcji i wychodzi:

\(\displaystyle{ 0=-2a ^{2} \Rightarrow a=0}\)
i układam równanie:

\(\displaystyle{ 0=x ^{3}-x+x ^{2}}\)
to z kolei rozkładam na czynniki i liczę deltę

wychodzi

\(\displaystyle{ x= \frac{-1- \sqrt{5} }{2}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{-1+ \sqrt{5} }{2}}\)
no i oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\)

dodaję te pierwiastki i wychodzi ostateczny wynik \(\displaystyle{ -2}\), dobrze to zrobiłam?

Proszę jeszcze o pomoc z drugim podpunktem.

[De Moon]

Sumę kwadratów pierwiastków musisz zapisać w postaci funkcji. Policz jej wierzchołek.

[Natasha]

Sumę kwadratów pierwiastków musisz zapisać w postaci funkcji. Policz jej wierzchołek.

Nie rozumiem...

Ups poprawiłam wielomian, bo zjadłam gdzieś minusy.

[klaustrofob]

Natasha, co Ty nakombinowałaś? jeżeli masz rozkład \(\displaystyle{ 0=(x ^{2}-a^{2})(x+1)}\), to ze wzorów skróconego mnożenia widać, że jeden pierwiastek to a, natomiast drugi to -a. dlatego suma pierwiastków wynosi -1.

poczytaj w kompendium forum o wzorach Viete'a - na podstawie tych wzorów wynik można odczytać od razu. można je też wykorzystać do podpunktu 2.

[hubertus361]

\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{2}}\)