zadania z wielomianów - powtórzenie do matury :]

[ADuch]

Robie powtórzenie do matury, jestem przy wielomianach i ... hmm mam problem nie pamiętam jak robiło sie zadania tego typu :

zad 1
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-1 jest równa 1, zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez x-2 jest równa 4. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian x�– 3x +2.


i jeszcze jeden rodzaj zadania:

zad 2.
Dla jakich wartości parametru m wielomian w(x) = 2x^4 – 2x� – 6x� + 10x + m ma pierwiastek trzykrotny.

Z góry dzięki za pomoc.

[Tristan]

Zad.1

Zauważmy, że \(\displaystyle{ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)}\). Korzystając z twierdzenia o dzieleniu wielomianów przez dwumian przedstawimy dany wielomian W(x) w postaci:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}W(x)=Q(x) (x-1)+1, gdzie 1=W(1)\\W(x)=Q(x) (x-2)+4, gdzie 4=W(2)\end{array}\right.}\)
Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez trójmian kwadratowy mamy:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-1)(x-2)+R}\), gdzie \(\displaystyle{ R(x)=px+q}\).
Szukamy wartości współczynników wielomianu \(\displaystyle{ px+q}\).
Reszta z dzielenia W(x) przez (x-1)(x-2) spełnia warunek:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}R=W(1)\\R=W(2)\right.}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}W(1)=Q(1)(1-1)(1-2)+(p\cdot 1+q)=p+q \\W(2)=Q(2)(2-1)(2-2)+(p 2 +q)=2p+q \end{array}\right.}\)
Uwzględniając pierwszy układ i ten ostatni, otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}W(1)=p+q\\W(2)=2p+q\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}1=p+q\\4=2p+q \end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}p=3\\q=-2\end{array}\right.}\)
Odp.: Reszta \(\displaystyle{ R(x)=x+1}\).

[Biolog]

R(x)=3x-2