zadanie z krotnosci pierwiastkow wielomianowych

[aneczka_88]

Mam takie zadanie i nie wiem jak sie je robi moze mi ktos wytlumaczyc co i
jak pokoleji trzeba robic??

-1,2 sa pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x^3+mx-x+n}\) wyznacz trzeci pierwiastek
tego wielomianu

[Tristan]

Skoro -1 i 2 są pierw. tego wielomianu to spełnione są warunki:
W(-1)=0 i W(2)=0
Ale gdy podstawimy to do naszego wielomianu, to z pierwszego wyjdzie, że m=3, a w drugim m=-9, więc pewnie źle przepisałaś zadanie.

[aneczka_88]

na koncu zamiast 4 ma byc n

[Tristan]

W takim razie mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^3+mx-x+n}\) gdzie -1 i 2 to jego pierwiastki. Oznaczmy sobie szukany pierwiastek przez r.
Możemy zapisać, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x-2)(ax-r)}\).
Gdy wymnożymy nawiasy otrzymamy, że \(\displaystyle{ W(x)=ax^3-rx^2-ax^2+rx-2ax+2r}\) i zauważamy, że a=2, czyli nasz wielomian to:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^3-rx^2-2x^2+rx-4x+2r}\)
\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+(-r-2)x^2+(r-4)x+2r}\)
Teraz porównujemy współczynniki przy potęgach naszego wielomianu i mamy:
\(\displaystyle{ -r-2=0 r-4=m-1 2r=n}\)
\(\displaystyle{ r=-2 m=-5 n=-4}\)
Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu W(x) jest -2.

[florek177]

a może prościej:
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\) --> \(\displaystyle{ -2-m+1+n=0}\)
\(\displaystyle{ W(2)=0}\) -->\(\displaystyle{ 16+2*m-2+n=0}\)
i rozwiązać układ równań.

[Tristan]

Po rozwiązaniu układu wyjdzie nam to m i n. Potem trzeba ten wielomian pogrupować itd. i wydaje mi się, że czas rozwiązań jest podobny. Ale fajnie, że użytkownicy piszą inne metody rozwiązań, bo to zawsze pomaga .
Drobny PS: w Texu, aby wykonać znak mnożenia, wpisujemy "cdot"

[aneczka_88]

Dziekuje wam slicznie