Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

[Swistak]

Pomyliły mi się zwroty nierówności, już powinno być dobrze.
Najpierw została wykorzystana nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (inaczej nazywana nierównością Cauchy'ego) pamiętając o tym kiedy zachodzi równość (jeżeli \(\displaystyle{ x^{6}=1 \Rightarrow x=1 \vee x=-1}\)), a potem odpowiednie przekształcenie, pozbycie się modułów pamiętająć kiedy zachodzi równość (jeżeli \(\displaystyle{ x \ge 0}\)). Widzimy, że wyrażenie \(\displaystyle{ x^{6}-6x+5}\) jest zawsze większe lub równe 0, a więc rozwiązaniem będzie każdy taki x, że \(\displaystyle{ x^{6}-6x+5 \neq 0}\), a wiemy, że równość zachodziła tylko jeżeli \(\displaystyle{ x \ge 1 \vee x \ge -1}\) oraz \(\displaystyle{ x \ge 0}\), a więc dla x=1, czyli rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste różne od 1.
Ja tyle napisałem, ale oczywiście całe rozwiązanie należy przypisać frejowi .

[Bartek1991]

Przepraszam, że odkopuję stary temat, ale to zadanie nie daje mi spokoju. Wykorzystując pochodną rozumiem, sposób całkiem fajny. Ale z wykorzystaniem tej nierówności między średnimi dochodzę do czegos takiego:

\(\displaystyle{ x^6 - 6|x| + 5 \ge 0}\)

I co dalej z tym zrobić? Bo za bardzo nie wiem co mi to dało...

Aha, wyjściowa nierówność w pierwszym poście jest źle napisana (o czym poprzednicy wiedzieli więc błędu w rozumowaniu nie ma), powinno być:

\(\displaystyle{ x^6 - 6x + 5 >0}\)

[smigol]

\(\displaystyle{ x^6+5 \ge 6x}\)

rozkładamy 5 na sumę 5 jedynek.
lewa strona nierówności:
\(\displaystyle{ x^6+1+1+1+1+1}\)
na mocy nierówności pomiędzy średnią geometryczną a arytmetyczną:
\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}}\)
przy czym równość zachodzi <=> gdy \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=...=a_n}\)

w szczególności dla n=6
\(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 \ge 6 \sqrt[6]{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}}\) (1)
podstawiamy:
\(\displaystyle{ a_1=x^6}\)
\(\displaystyle{ a_2=1}\)
\(\displaystyle{ a_3=1}\)
\(\displaystyle{ a_4=1}\)
\(\displaystyle{ a_5=1}\)
\(\displaystyle{ a_6=1}\)

i podstawiamy do (1)
\(\displaystyle{ x^6+1+1+1+1+1 \ge 6 \sqrt[6]{x^6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 6\sqrt[6]{x^6}=6|x|}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x^6+5 \ge 6|x|}\)
\(\displaystyle{ x^6+5-6|x| \ge 0}\)

i teraz dało Ci to tyle, że na mocy nierówności pomiędzy średnimi wiesz, że dla każdego x zachodzi takie coś:
\(\displaystyle{ x^6+5-6|x| \ge 0}\)
w zadaniu jednak pytali Cię o takie coś:
\(\displaystyle{ x^6+5-6|x| > 0}\)
zatem musisz sprawdzić dla jakich x zachodzi takie coś
\(\displaystyle{ x^6+5-6|x| = 0}\)
i te rozwiązania odrzucić od rozwiązań tego czegoś: \(\displaystyle{ x^6+5-6|x| \ge 0}\)
i dostaniesz rozwiązania takiego czegoś:
\(\displaystyle{ x^6+5-6|x| > 0}\)
o co Cie autorzy prosili.


Sorry, jak coś niezrozumiale, albo nakręciłem Ci w głowie, albo co gorsza jakiś błąd, za późno jak dla mnie .