Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Bartek1991 »

Zad. 1. Rozwiązać nierówność

\(\displaystyle{ x^6-6x + >0}\)

Zad. 2. Znaleźć liczbę naturalną , która spełnia równanie

\(\displaystyle{ \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{\frac{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}+...+ \frac{1}{n(n+1)} } = 110}\)

Zad. 3. Obliczyć wartość wyrażenia

\(\displaystyle{ \log_2 \sin54 + 2 \log_4 \sin 18}\)

W zadaniu drugim wyszłomi że n = -11 lub n = 10. Mógłby ktos sprawdzić czy to poprawna odpowiedź? W dwóch pozostałych zadaniach poproszę o jakieś wskazówki.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2009, o 22:12 przez Bartek1991, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: klaustrofob »

w drugim w liczniku masz liczbę kwadratową, czyli \(\displaystyle{ n^2}\) w mianowniku masz \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}}\) czyli ułamek po lewej daje (n+1)n, czyli n(n+1)=110. faktycznie, n=10. n=-11 oczywiście odpada.

w trzecim zmień podstawę: \(\displaystyle{ 2\log_4 x=2\log_4 2\log_2 x=\log_2 x}\) stąd wynika, że całość mozna zwinąć do logarytmu z iloczynu sinusa 54 i sinusa 18. poszukaj na forum, taki iloczyn pojawiał się kilka razy, chyba frej go robił.

pierwsze: \(\displaystyle{ x^6-x-5x+5=x(x^5-1)-5(x-1)}\) zakombinuj

i zacznij pisać w LaTeXu zamiast wklejać skany.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Bartek1991 »

W pierwszym zadaniu udało mi się dojśc do postaci:

\(\displaystyle{ (x-1)(x(x^4+x^3+x^2+2x+1)-5) >0}\)

W zadaniu drugim też dochodziłem do postaci \(\displaystyle{ \log_2 ( \sin 54 \cdot \sin 18)}\)i co z tym dalej zrobić ?
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Dumel »

zerknij na to i wymysl coś podobnego: 124506.htm
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: klaustrofob »

sinus 18: 80546.htm poszukaj też w innych postach, ten iloczyn na pewno został obliczony.

w pierwszym się pomyliłeś, w drugim nawiasie jest \(\displaystyle{ x^5+x^4+x^3+x^2+x-5}\) co ponownie daje 1 jako pierwiastek. ale to i tak nie ma sensu. lepiej znaleźć najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^6-6x+5}\) jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ 6x^5-6}\) i jest: ujemna dla x<1, dodatnia dla x>1, równa 0 dla x=1. jest tu więc wartość najmniejsza. rozwiązaniem nierówności jest R{1}.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Bartek1991 »

zerknij na to i wymysl coś podobnego: 124506.htm
Cięzko mi wymyślić coś sensownego
ujemna dla x<1, dodatnia dla x>1, równa 0 dla x=1. jest tu więc wartość najmniejsza. rozwiązaniem nierówności jest R{1}.
Pierwiastkiem x^5 - 1 jest tylko 1 tak ? A da sie to zadanie rozwiązać nie używając pochodnej ?
frej

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: frej »

\(\displaystyle{ x^6 + 1+ 1+ 1+1+1 \ge (AM \ge GM ) \ge \ldots}\)-- 5 maja 2009, 21:31 --3. Ogólnie tutaj też wystarczy sinus podwójnego kąta i wzory redukcyjne.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: klaustrofob »

frej ładnie załatwił nierówność. poniżej trygonometria.

\(\displaystyle{ \sin 54\sin 18=s}\)
\(\displaystyle{ \cos 36\sin 18=s}\)
\(\displaystyle{ 2\cos 36\sin 18\cos 18=2s\cos 18}\)
\(\displaystyle{ \cos 36\sin 36=2s\cos 18}\)
\(\displaystyle{ 2\cos 36\sin 36=4s\cos 18}\)
\(\displaystyle{ \sin 72=4s\cos 18}\)
\(\displaystyle{ \sin 72=4s\sin 72}\)
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Swistak »

Ale szczwane frej oO. Czyli wynika, że to zachodzi dla wszystkich x oprócz takich, że \(\displaystyle{ x^{6}=1}\), czyli 1 i -1?
frej

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: frej »

Nie
\(\displaystyle{ x^6=1}\)

Ale pamiętaj, że \(\displaystyle{ \sqrt[6]{x^6}= \left| x\right|}\), czyli
\(\displaystyle{ x^6=1 \quad \wedge \quad \left| x\right| =x}\)
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Rogal »

Ekhm, ten konkurs to jest aktualny, czy zakończony? Bo jak aktualny to wiadomo, a jak zakończony, to grzecznie proszę poprawić zapis na LaTeXowy - obce linki nie będą tolerowane.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Swistak »

Racja .
Ale i tak nie pomyślałem, przecież \(\displaystyle{ (-1)^{6}-6\cdot (-1)+5=12}\) .
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Bartek1991 »

Ekhm, ten konkurs to jest aktualny, czy zakończony? Bo jak aktualny to wiadomo, a jak zakończony, to grzecznie proszę poprawić zapis na LaTeXowy - obce linki nie będą tolerowane.
Konkurs jest oczywiście zakońzony zadania są z 2008 roku. Zapis poprawiłem.

Frej, a mógłbyś wyjaśnić skąd się bierze ta nierówność i co ona ma wspólnego z tym zadaniem ?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2009, o 22:39 przez Bartek1991, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Swistak »

No napisał \(\displaystyle{ AM \ge GM}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{x^{6}+1+1+1+1+1}{6} \ge \sqrt[6]{x^{6}\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1} =|x| \Rightarrow x^{6}+5 \ge 6|x| \Rightarrow x^{6}-6x+5 \ge x^{6}-6|x|+5 \ge 0}\), a równość zachodzi tylko jeżeli \(\displaystyle{ x^{6}=1=1=1=1=1}\) i jeżeli \(\displaystyle{ x \ge 0}\), czyli nierówność ostra zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych oprócz 1.

EDIT: Sorry, ja trochę z tymi modułami nakręciłem. Już powinno być dobrze.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2009, o 23:04 przez Swistak, łącznie zmieniany 1 raz.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Nierównośc wielomianowa, liczba spełniająca dane równanie

Post autor: Bartek1991 »

Nie za bardzo rozumiem o co tutaj w tym sposobie chodzi. Mógłby ktoś wyjaśnić?
ODPOWIEDZ