Wzory Viete'a dla wielomianu 3 stopnia. Wykaż, że ...

[cwiartunia]

Wykaz ze jesli wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+ cx + d}\) mozna przedstawic jako iloczyn czynnikow liniowych w X \(\displaystyle{ a(x-x_1) (x-x_2) (x-x_3)}\)
to zachodza zwiazki
\(\displaystyle{ x_1+ x_2+ x_3 =- \frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a} \\
x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}}\)
prosze o pomoc i wykazanie tej zaleznosci:)

[Aanna]

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=a \left( x-x_1 \right) \left( x-x_2 \right) \left( x-x_3 \right)}\)

wymnazamy prawa strone i otrzymujemy

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a \left( x_1+x_2+x_3 \right) x^2+a \left( x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 \right) x-ax_1x_2x_3}\)

wielomiany sa rowne gdy maja rowne wspolczynniki przy odpowiednich potegach zmiennej zatem porownujemy odpowiednie wspolczynniki

\(\displaystyle{ -ax_1x_2x_3=d \\
a \left( x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 \right) =c\\
-a \left( x_1+x_2+x_3 \right) =b}\)

po podzieleniu odpowiednio przez a lub -a otrzymujemy to cnd

[cwiartunia]

Wielkie dzieki za pomoc w rozwiazniu problemu Pozdro dla Ciebie