Wielomiany - powtórzenie przed sprawdzianem

sbq · Post autor: **sbq** » 1 maja 2009, o 14:46

Wiatm posiadam takie oto zadania i chciałbym sobie potrenować ich rozwiązywanie. Czy mogli byście zamieścić inne podobne zadania tak aby polecenia pozostały takie same a zmienione zostały tylko przykłady. Postaram sie je rozwiązać i zamieszcze tutaj a wy jak bylibyście tacy uprzejmi to prosze o sprawdzenie ich. Z góry dziękuje.

1. Rozłuż na czynniki nie rozkładalne.
a) \(\displaystyle{ 8x^{4} - x}\)
b) \(\displaystyle{ x^{3} - 5x^{2} - 25x + 125}\)

2.Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ -x^{3} - 2x^{2} - 2x = 0}\)

3.Uporządkuj rosnąco wielomian \(\displaystyle{ 2(x+3)^{3} - (2x - 1)^{2}}\) , a następnie jego wartości dla \(\displaystyle{ \sqrt{-2}}\)

4. Podaj przykład wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 4}\) którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ x_{1}=-2 x_{2}=0 x_{3}=3}\)

5. Wyznacz współczynniki wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3} + 2(3a-1)x^{2} + (a^{2} - 4a)a - 2a^{2}}\) tak aby spełniony był warunek \(\displaystyle{ W(2)=-16}\)

6. Oblicz dla jakiego a i b wielomiany \(\displaystyle{ P(x)= 2x^{3} - (2a - b)x^{2} + bx + 7}\)
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3} + 5x^{2} - 3x + 7}\) są równe.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 maja 2009, o 14:52

1) Rozłóż .

Nie mozesz sobie pozamieniac cyferek i porobic z tymi zmienionymi cyframi?

matshadow · Post autor: **matshadow** » 1 maja 2009, o 16:09

2)
\(\displaystyle{ -x^3-2x^2-2x=0 \Leftrightarrow x^3+2x^2+2x=0\\x(x^2+2x+2)=0 \Leftrightarrow x=0\vee (x^2+2x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\ge 1}\)
Czyli jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=0}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 maja 2009, o 16:16

matshadow pisze:2)
\(\displaystyle{ -x^3-2x^2-2x=0 \Leftrightarrow x^3+2x^2+2x=0\\x(x^2+2x+2)=0 \Leftrightarrow x=0\vee (x^2+2x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\ge 1}\)
Czyli jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=0}\)

Niektorzy nawet nie czytają tresci posta , a robią zadanka. Troche pasuje pod definicje maszynki do robienia zadan.

matshadow · Post autor: **matshadow** » 1 maja 2009, o 16:24

Przeczytałem, ale myślę że rozwiązanie takiego prostego przykładu pokazuje jeden ze sposobów podejścia do takiego zadania (czyli doprowadzenie do równania kwadratowego) efektywniej niż w słowach

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 1 maja 2009, o 16:27

Ale osoba , ktora zalozyla ten temat, nie prosila o rozwiazania tylko przyklady podobne do tych zadan. Stad moja uwaga,.

sbq · Post autor: **sbq** » 2 maja 2009, o 19:21

Z zadań które napisałem nie rozumiem zupełnie 3 i 4, dlatego jak byście mogli opiszcie dokładnie co i jak w nich trzeba zrobić krok po kroku. 5 i 6 myśle że umiem. 1 i 2 zadnie wkleje wam do sprawdzenia. Zadanie 2 zrobiłem nieco inaczej niż matshadow, nie rozumiem za bardzo tego co napisał...
1
a)\(\displaystyle{ 8x^{4} - x= x(8x^{3} - 1) = (2x - 1)(4x^{2} + 2x + 1)}\)
\(\displaystyle{ \wedge =-8}\) delta mniejsza od zera - nie rozkłada się.

b)\(\displaystyle{ x^{3} - 5x^{2} - 25x + 125 = x(x^{2} - 5x - 25) +125 = (x + 125)(x^{2} -5x -25)}\)
\(\displaystyle{ \wedge = 25 - 4 * 1 * (-25) = -75}\) delta mniejsza od zera - nie rozkłada się

2
\(\displaystyle{ -x(x^{2} + 2x + 2)=0}\)
\(\displaystyle{ \wedge =-4}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego rozwiązaniem jest x=0 (z przykładu matshadow) bo nie rozumiem... Prosze sprawdzcie błędy i w razie czego napiszcie co robie nie tak.

astuhu · Post autor: **astuhu** » 2 maja 2009, o 20:34

1
a)\(\displaystyle{ 8x^{4} - x= x(8x^{3} - 1) = (2x - 1)(4x^{2} + 2x + 1)}\)
\(\displaystyle{ \wedge =-8}\) delta mniejsza od zera - nie rozkłada się.

zapomniales w ost przeksztalceniu o x, delta na pewno dobrze policzona?

b)\(\displaystyle{ x^{3} - 5x^{2} - 25x + 125 = x(x^{2} - 5x - 25) +125 = (x + 125)(x^{2} -5x -25)}\)
\(\displaystyle{ \wedge = 25 - 4 * 1 * (-25) = -75}\) delta mniejsza od zera - nie rozkłada się
na jakiej podstawie wylaczyles?
skorzystaj z tabelki Hornera

sbq · Post autor: **sbq** » 3 maja 2009, o 09:03

Wytłumaczy ktoś zadanie 3 i 4 bo nie ogarniam...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 3 maja 2009, o 10:59

3) zapewne chodzi o to aby skorzystac ze wzorow skroconego mnozenia. Pozniej nalezy skrocic wyrazy podobne.
4)trzeba podac przyklad:
\(\displaystyle{ (x-3)(x+2)( x^{2} )}\)
No i tyle.

sbq · Post autor: **sbq** » 4 maja 2009, o 10:09

\(\displaystyle{ (x-3)(x+2)(x^{2})}\)
Czy pierwiastkiem \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest 0? Dlaczego ten wielomian jest 4 stopnia?

matshadow · Post autor: **matshadow** » 4 maja 2009, o 11:33

pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) nazywamy taką liczbę k, dla której wartość \(\displaystyle{ W(k)=0}\), czyli mówiąc prosto: jak za \(\displaystyle{ x}\) podstawisz taką liczbę, że \(\displaystyle{ W(x)=0}\), to wtedy ta liczba jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zauważ że jak masz:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(x^2)(x+2)}\) i podstawisz tu za \(\displaystyle{ x}\) kolejno 3, 0 i -2, to \(\displaystyle{ W(x)=0}\).
Tutaj miał być stopnia 4, czyli najwyższa potęga przy \(\displaystyle{ x}\) ma być równa 4 (np \(\displaystyle{ x^4}\), \(\displaystyle{ x^4-x^2+5}\), ale \(\displaystyle{ x^6+x^4}\) już nie).
Jak to wymnożysz to wyjdzie Ci:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-x^3-6x^2}\), czyli najwyższa potęga przy \(\displaystyle{ x}\) jest równa 4

sbq · Post autor: **sbq** » 4 maja 2009, o 12:07

Dzieki wszystkim za pomoc. Mam jeszcze pytanie kidy współczynnikiem wielomianu jest 0? Rozumiem że współczynniki wielomianu to wszystkie cyferki w wielomianie. Ale nie wiem kiedy współczynnikiem jest 0...