Kilka zadań z wielomianów

[KB24]

1. Dany jest wielomian W(x)= x^3 - 3x^3. Rozwiąż nierówność W(x+1) > 0

2. Liczby 1, 2 i -3 są pierwiastkami wielomianu stopnia 3. Wyznacz współczynniki tego wielomianu wiedząc, że dla argumentu (-4) wielomian przyjmuje wartość 5.

3. Wyznacz a i b wiedząc, że liczby -2 i 3 są pierwiastkami wielomianu W(x)= x^4 - x^3 - 4x^2 + ax + b.

4. W(x) = x^3 - 2x^2 + k jest podzielny przez x+2. Wyznacz wartość parametru k, a następnie rozwiąż nierówność W(x)<16

5. W(x)= x^4 + x^2 + ax + b jest podzielny przez dwumian x+1. Ponadto dla argumentu 2 wielomian przyjmuje wartosc 18:

a) wyznacz a i b
b) rozwiąż nierówność W(x) < x^4 + x^3


Z tymi zadaniami mam problem i z góry dziękuje za pomoc w ich rozwiazaniu:) Pozdrawiam

[Gotta]

Zadanie 1
Należy rozwiązać równanie (x+1)^3-3(x+1)^2=0

Zadanie 2
Szukany wielomian jest postaci W(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\ W(2)=0\\ W(-3)=0\\ W(-4)=5 \end{cases}}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c+d=0 \\ 8a+4b+2c+d=0\\ -27a+9b+3c+d=0\\ -64a+16b-4c+d=5 \end{cases}}\)

Zadanie 3
Rozwiązujemy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-2)=0\\ W(3)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 16+8-16-4a+b=0\\ 81-27-36+3a+b=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (x^3-2x^2+k):((x+2)=x^2-4x+8+\frac{k-16}{x+2}}\)
Wielomian jest podzielny przez dwumian, więc reszta musi być równa zero, a więc \(\displaystyle{ k-16=0}\), czyli \(\displaystyle{ k=16}\)

\(\displaystyle{ W(x)<16}\)
\(\displaystyle{ x^3-2x^2+16<16}\)
\(\displaystyle{ x^2(x-2)<0}\)
\(\displaystyle{ x\in (\infty,2)-\{0\}}\)

Zadanie 4
\(\displaystyle{ (x^4+x^2+ax+b):(x+1)=x^3-x^2+2x+a-2+\frac{b}{x+1}}\)
Reszta musi być równa zero, więc \(\displaystyle{ b=0}\), czyli wielomian ma postać
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^2+ax}\)
Ponadto wiadomo, że W(2)=18, a więc
\(\displaystyle{ 16+4+2a=18}\), czyli \(\displaystyle{ a=-1}\)

\(\displaystyle{ x^4+x^2-x<x^4+x^3}\)
\(\displaystyle{ -x^3+x^2-x<0}\)
\(\displaystyle{ -x(x^2-x+1)<0}\)
\(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\)

[Artist]

Może 3.

\(\displaystyle{ (-2)^{4}-(-2)^{3}-4(-2)^{2}-2a+b=0}\)
\(\displaystyle{ 3^{4}-3^{3}-4 \cdot 3^{2}+3a+b=0}\)

Rozwiązanie tego ukłądu równań jest rozwiązaniem zadania.

No i 5
Masz, ze -1 jest miejscem zerowym a więc
\(\displaystyle{ (-1)^{4}+(-1)^{2}-a+b=0}\) oraz
\(\displaystyle{ 2^{4}+2^{2}+2a+b=18}\)
Znowu rozwiązujesz układ.

Jeszcze 4
\(\displaystyle{ (-2)^{3}-2\cdot (-2)^{2}+k=0}\)
\(\displaystyle{ -8-8+k=0 \Rightarrow k=16}\)

-- 29 kwietnia 2009, 17:09 --

1. Dany jest wielomian W(x)= x^3 - 3x^3. Rozwiąż nierówność W(x+1) > 0

Zadanie 1
Należy rozwiązać równanie (x+1)^3-3(x+1)^2=0

Ktoś popełnił błąd albo KB24 bo jeśli ma to być:
\(\displaystyle{ x^{3}-3x^{3}=-2x^{3}}\)
\(\displaystyle{ W(x+1)=-2(x+1)^{3}}\)

Z tego mamy, że \(\displaystyle{ w(x+1)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\)
Albo Gotta
Tam macie różne wykładniki przy -3x