Kolejny problem z założeniami przy parametrze

petro · Post autor: **petro** » 15 lut 2006, o 14:20

Zadanie

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ mx^3+(9m-3)x^2+(2-m)x=0}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Proszę tylko o żałożenie, bo tylko z tym mam tutaj problem.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 15 lut 2006, o 14:22

Zauważ, że 0 jest pierwiastkiem tego trójmianu, niezależnie od m.

Wyłącz x przed nawiast & zastanów się nad trójmianem w owym nawiasie

petro · Post autor: **petro** » 15 lut 2006, o 14:29

No dobrze... to że wyłączyć x przed nawias i w ten sposób sprowadzić do f. kwadratowej to wiem.
Będzie to wyglądało w ten sposób:
\(\displaystyle{ x[mx^2+(9m-c)x+2-m]=0}\)
Jedyne co nauswa mi się przy założeniu "co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie" to DELTA >=0 i nic więcej

arigo · Post autor: **arigo** » 15 lut 2006, o 14:33

conajmniej jedno dodatnie tzn albo 2 dodatnie albo dodatnie i ujemne. musisz stworzyc odpowiednie warunki wykorzystujac wzory Viete'a

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 15 lut 2006, o 14:33

Sprawdź, co dzieje się dla \(\displaystyle{ m=0}\).

Teraz załóżmy \(\displaystyle{ m\neq 0}\).

Rozważmy dwa przypadki:

1) trójmian ma dwa pierwiastki dodatnie (włączajac pierwiastek podwójny),
2) trójmian ma jeden pierwiastek dodatni, drugi ujemny.

Ad 1.

Suma pierwiastków i ich iloczyn musi być dodatni, wyróżnik trójmianu nieujemny.

Ad 2.

Wyróżnik dodatni, iloczyn ujemny (jako iloczyn liczb o różnych znakach).

petro · Post autor: **petro** » 15 lut 2006, o 14:46

Tomasz Rużycki pisze:Sprawdź, co dzieje się dla .

Według mnie dla m=0 funkcja traci postać trójmianu kwadratowego i dalsze założenia nie mają sensu.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 15 lut 2006, o 14:51

Co najmniej jeden jest napisane wyraźnie w zadaniu, więc pomimo tego, że w nawiasie będzie czynnik liniowy, to może on zerować się dla dodatniej wartości argumentu, dlatego napisałem, żebyś to sprawdził

petro · Post autor: **petro** » 15 lut 2006, o 15:06

Dziękuję bardzo... już rozumiem.
Ale za to mam kolejne zadanie z parametrem, gdzie nie wiem jakie założenia zadeklarować, oto ono:

Określ liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ px^3+(9p-3)x^2+(2-p)x=0}\) w zależności od parametru p.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 15 lut 2006, o 15:13

Zupełnie analogicznie, wyłącz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, bo 0 zawsze jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zastanów się kiedy trójmian w nawiasie ma 1/2/nie ma w ogóle pierwiastków

arigo · Post autor: **arigo** » 15 lut 2006, o 15:14

x przed nawias potem badasz delte trojmianu kwadratowego w zaleznosci od p tylko pamietaj o przypadku gdy wspolczynnik przy x^2 jest rowny 0

petro · Post autor: **petro** » 15 lut 2006, o 15:57

Tomasz Rużycki pisze:Zastanów się kiedy trójmian w nawiasie ma 1/2/nie ma w ogóle pierwiastków

Wydaje mi się że pwoinienem tu rozpatrzyć gdy p=0 lub nie równa się 0.
Jeśli chodzi o to kiedy ma 0/1/2 pierwiastki to zalezy od delty.

Proszę o wskazówki... tai szkielet co powinienem pierw zbadać itp.

Szczypior · Post autor: **Szczypior** » 24 lut 2006, o 19:19

1. Wyłączenie x przed nawias. Mamy już jeden pierwiastek.
2. Badanie powstałego trójmianu o współczynnikach p, 9p-3 i 2-p.
a. Sprawdzenie co się dzieje dla p=0 (funkcja liniowa, mamy jeden pierwisatek równy 2/3).
b. Sprawdzenie co się dzieje dla p0 (funkcja kwadratowa)
- Obliczamy deltę.
- Dla delty>0 mamy dwa pierwstki, dla delty=0 - jeden, w przeciwnym wypadku zero.
3. Odpowiedź
- 3 piewiastki dla delty>0
- 2 pierwisatski dla delty=0 i dla p=0
- 1 pierwsiatek dla delty