Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}-4x ^{2}+kx+m}\).
Wyznacz parametr k, tak aby pierwiastki tego wielomianu tworzyły ciąg arytmetyczny.
Wyznacz parametr k, tak aby pierwiastki tego wielomianu...
-
wally
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 13:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Tryb
- Pomógł: 6 razy
Wyznacz parametr k, tak aby pierwiastki tego wielomianu...
Niech pierwiastkami tego wielomianu będą:
\(\displaystyle{ a, a+r, a+2r, a+3r}\)
Wtedy z wzorów Viete'a lub twierdzenia o wielomianach równych.
\(\displaystyle{ a+a+r+a+2r+a+3r=4a+6r=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}r}\) (Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{3}}\))
Teraz nasze pierwiastki to:
\(\displaystyle{ -\frac{3}{2}r, -\frac{1}{2}r, \frac{1}{2}r, \frac{3}{2}r}\)
Dalej, iloczyn wszystkich pierwiastków to \(\displaystyle{ m}\), a suma iloczynów par to \(\displaystyle{ -4}\),
a suma iloczynów trójek to -k, a to już sobie policzysz
\(\displaystyle{ a, a+r, a+2r, a+3r}\)
Wtedy z wzorów Viete'a lub twierdzenia o wielomianach równych.
\(\displaystyle{ a+a+r+a+2r+a+3r=4a+6r=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}r}\) (Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{3}}\))
Teraz nasze pierwiastki to:
\(\displaystyle{ -\frac{3}{2}r, -\frac{1}{2}r, \frac{1}{2}r, \frac{3}{2}r}\)
Dalej, iloczyn wszystkich pierwiastków to \(\displaystyle{ m}\), a suma iloczynów par to \(\displaystyle{ -4}\),
a suma iloczynów trójek to -k, a to już sobie policzysz