pytanie o ekstremum

[lukasz139]

Witam.

Mam taką funkcję: \(\displaystyle{ x^{3} +3x y^{2} -51x-24y}\)

wyszedl mi punkt \(\displaystyle{ x= 4, y= 1}\)

Chcę obliczyć czy funkcja ma w tym punkcie ekstremum lokalne z warunku wystarczającego (macierz).
Tylko że druga pochodna wychodzi 6x, a po y wynosi 6y, a powinna być liczba. Trzeba to jakoś zapisać inaczej?

[krzywy1607]

Nie musi być to liczba. Jeśli W (ten wyznacznik z macierzy) wyjdzie Ci jakaś funkcja np. \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}}\) To pod tą funkcję podstawiasz współrzędne punktu który znalazłeś wcześniej. Podobnie przy sprawdzaniu czy wynik który Ci wyszedl to minimum czy maksimum ... jeśli np. \(\displaystyle{ f''_{xx} = 5x}\) to też podstawiasz współrzędne tego punktu który Ci wyszedł. Akurat druga współrzędna (y) w tym przykładzie nie jest potrzebna Jeśli Ci wyjdzie, że \(\displaystyle{ f''_{xx} >0}\) to ma minimum w tym punkcie i odwrotnie Ale to chyba wiesz

[Gotta]

pochodna funkcji zeruje się w punktach \(\displaystyle{ (4,1), (-4,-1), (1,4),(-1,-4)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6x}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6x}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=6y}\)

Badamy istnienie ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ (4,1)}\)
\(\displaystyle{ \left |\begin{array}{cc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(4,1) & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(4,1) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(4,1) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(4,1) \\
\end{array}\right |=540>0}\)
A skoro \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(4,1)>0}\), to w \(\displaystyle{ (4,1)}\) mamy minimum

Badamy istnienie ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ (-4,-1)}\)
\(\displaystyle{ \left |\begin{array}{cc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-4,-1) & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(-4,-1) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(-4,-1) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(-4,-1) \\
\end{array}\right |=540>0}\)
A skoro \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-4,-1)<0}\), to w \(\displaystyle{ (-4,-1)}\) mamy maksimum

Badamy istnienie ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ (-1,-4)}\)
\(\displaystyle{ \left |\begin{array}{cc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1,-4) & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(-1,-4) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(-1,-4) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(-1,-4) \\
\end{array}\right |=540>0}\)
A skoro \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1,-4)<0}\), to w \(\displaystyle{ (4,1)}\) mamy maksimum

Badamy istnienie ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ (1,4)}\)
\(\displaystyle{ \left |\begin{array}{cc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,4) & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,4) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(1,4) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,4) \\
\end{array}\right |=540>0}\)
A skoro \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,4)>0}\), to w \(\displaystyle{ (4,1)}\) mamy minimum

[lukasz139]

oo super, dzieki