Dowód na niewymiernosc pierwiastka trzeciego stopnia

[pajq]

Witam. Przepraszam, jeśli nie tu piszę post, mogłem się pomylić.

Zadanie brzmi następująco.
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5}}\) jest liczbą niewymierną.
Dowód z pierwiastkami drugiego stopnia umiem, a tego nie mogę ruszyć.
Proszę o pomoc.

[Lady Tilly]

Popatrz sobie tu:
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=11860 tu jest co prawda pierwiastek drugiego stopna ale może pomysł na rozwiązanie nasunie Ci się sam.

[Sulik]

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5}\). Jego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]5}\). Ale z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy, że jeśli ma on pierwiaski wymierne to mogą, to być tylko liczby ze zbioru {-5, -1, 1, 5}. A \(\displaystyle{ \sqrt[3]5}\) nie jest równy żadnej z tych liczb, co oznacza, że jest on liczbą niewymierną.