pierwiastki wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: Jacek_fizyk »

hej! Prosze o pomoc z rozwiazaniem nastepujacych ukladow rownan:
(obliczam ekstrema funkcji dwoch zmiennych i po znalezieniu pochodnych czastkowych otrzymuje rownania)
a) \(\displaystyle{ ]\left\{\begin{array}{l} 3x^2+6xy-6y-15=0\\3x^2-6x-6y-15=0\end{array}}\)

b) \(\displaystyle{ ]\left\{\begin{array}{l}x^3-x+y=0\\y^3+x-y=0\end{array}}\)

prosze o dokladne wyjasnienie jak mozna powyzsze uklady najprosciej rozwiazac.
Z gory dzieki
pozdr
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: mikolajr »

1. odejmij stronami

2.w pierwszym równaniu wyznacz y i podstaw do drugiego
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: Jacek_fizyk »

mikolajr pisze:1. odejmij stronami

2.w pierwszym równaniu wyznacz y i podstaw do drugiego
hej! w drugim wyszlo mi:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y=-x^3+x\\(-x^3+x)^3+x+x^3-x=0\end{array}}\)
rozpisujac wszystko dostalem:
\(\displaystyle{ x^9-3x^7+3x^5=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow x^5(x^4-3x^2+3)=0 t=x^2}\)
ale dalej to juz nie wychodzi bo z ukladu nr 1 ma wyjsc \(\displaystyle{ (0, \frac{-5}{2}) (-1,-1) (3,-1)}\) jak to ugryzc.....
z ukladem nr 2 sobie nie moge dac rady.....
ggosia6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2008, o 13:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 1 raz

pierwiastki wielomianu

Post autor: ggosia6 »

Te rownania co sa w ukladzie to tzw. równania diofantyczne i nie ma algorytmu na szybkie rozwiazywanie takich rownan, ani tym bardziej układów...
Pozostaje reczne męczenie się...
Uklad nr 1
Po odjeciu stronami otrzymujemy
\(\displaystyle{ 6xy+6x=0 \Rightarrow 6x(y+1)=0 \Rightarrow (x=0 \vee y=-1)}\)
Uklad nr 2
Po dodaniu stronami otrzymujemy
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}=0 \Rightarrow x^{3}=-y^{3} \Rightarrow x=-y}\)
Dalej nie mam pomysłu
Te uklady to do metody mnoznikow Lagrange'a ?
Może bys podał to główne zadanie
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: Jacek_fizyk »

ggosia6 pisze:Te rownania co sa w ukladzie to tzw. równania diofantyczne i nie ma algorytmu na szybkie rozwiazywanie takich rownan, ani tym bardziej układów...
Pozostaje reczne męczenie się...
Uklad nr 1
Po odjeciu stronami otrzymujemy
\(\displaystyle{ 6xy+6x=0 \Rightarrow 6x(y+1)=0 \Rightarrow (x=0 \vee y=-1)}\)
Uklad nr 2
Po dodaniu stronami otrzymujemy
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}=0 \Rightarrow x^{3}=-y^{3} \Rightarrow x=-y}\)
Dalej nie mam pomysłu
Te uklady to do metody mnoznikow Lagrange'a ?
Może bys podał to główne zadanie

Zbadac extremum fukcji \(\displaystyle{ f(x,y) = x^3+3x^2y-6xy-3y^2-15x-15y}\)
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2009, o 15:14 przez Jacek_fizyk, łącznie zmieniany 1 raz.
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: mikolajr »

coś chyba w tym drugim układzie błąd bo dochodze do
\(\displaystyle{ -x^3(x^6-3x^4+3x^2+2)=0}\)

podstawiłem zmienną w nawiasie ale nie moge go podzielić przez żaden dzielnik
ggosia6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2008, o 13:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 1 raz

pierwiastki wielomianu

Post autor: ggosia6 »

Znajdowanie ekstremów nie polega tylko na przyrównaniu pochodnych cząstkowych do zera
(jest to tzw. warunek konieczny tzn. dla pary punktow bycie ekstremum implikuje zerowanie sie pochodnych)
Po tym jak już będziemy mieli punkty podejrzanie o bycie ekstremum tzn. wszystkie takie pary x i y ktore spelniaja nasz uklad , musimy dla kazdej pary sprawdzic czy hesjan (macierz drugich pochodnych czastkowych) jest dodatnio bądź ujemnie określona (robimy to przy użyciu kryterium Sylvestera) i w zależności od tego wiemy czy jest to minimum/maksimum albo wychodzi ze nie ma ekstremum
(To jest dopiero warunek dostateczny/wystarczający rownowazny z byciem ekstremum )

Wiec zacznijmy od nowa
Dana jest f-cja
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}+4xy-2y}\)
Pochodna czastkowa wzgledem x to: /przepraszam za taki zapis ale na razie slabo znam TeXa/
\(\displaystyle{ 4x^{3}-4x+4y}\)
Pochodna czastkowa wzgledem y to:
\(\displaystyle{ 4y^{3}+4x-2}\)
Układ równań
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{}4x^{3}-4x+4y=0 \\ 4y^{3}+4x-2=0 \end{array}}\)
Chyba jeszcze gorszy niż przedtem, po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ 4x^{3}+4y^{3}+4y-2=0}\)
Można jeszcze pomnożyć przez 1/2
\(\displaystyle{ 2x^{3}+2y^{3}+2y-1=0}\)
Ale to chyba niewiele pomoże
Po wrzuceniu w maple nieciekawe wyniki wychodza rozwiazania rownan wielomianowych 9 stopnia
czy na pewno błędu nie ma w tym?

EDIT: Teraz dla tej nowopodanej
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3+3x^2y-6xy-3y^2-15x-15y}\)
Pochodna czastkowa wzgledem x
\(\displaystyle{ 3x^2+6xy-6y-15}\)
Pochodna czastkowa wg y
\(\displaystyle{ 3x^2-6x-6y-15}\)
Czyli znowu rownanie
\(\displaystyle{ 6xy+6x=0}\)
czyli znowy\(\displaystyle{ (y=-1 \vee x=0)}\)
Cos w tym jednak jest...
Możemy wziasc na dobry poczatek punkt(0,-1)
Teraz trzeba wyznaczyc macierz Hessa \(\displaystyle{ a _{i,j}}\)
\(\displaystyle{ a_{1,1}=6x+6y}\)
\(\displaystyle{ a _{1,2}=6x-6}\)
\(\displaystyle{ a _{2,1}=6x-6}\)
\(\displaystyle{ a _{2,2}=-6}\)
Po podstawieniu ... otrzymujemy
\(\displaystyle{ a_{1,1}=-6}\)
\(\displaystyle{ a _{1,2}=-6}\)
\(\displaystyle{ a _{2,1}=-6}\)
\(\displaystyle{ a _{2,2}=-6}\)
\(\displaystyle{ det|A _{1} |=-6 < 0}\)
\(\displaystyle{ det|A _{2} |=36-36 = 0}\)
Zatem macierz jest nieokreślona i nie ma w tym punkcie ekstremum
Maple daje mi taki oto wynik dla tego układu równań wiec chyba w końcu to jest to o co chodziło:
{x = 0, y = -5/2}, {x = -1, y = -1}, {x = 3, y = -1}

EDIT: Jak te rozwiazania otrzymac dwa posty niżej
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2009, o 16:53 przez ggosia6, łącznie zmieniany 9 razy.
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: Jacek_fizyk »

ggosia6 pisze:Znajdowanie ekstremów nie polega tylko na przyrównaniu pochodnych cząstkowych do zera
(jest to tzw. warunek konieczny tzn. dla pary punktow bycie ekstremum implikuje zerowanie sie pochodnych)
Po tym jak już będziemy mieli punkty podejrzanie o bycie ekstremum tzn. wszystkie takie pary x i y ktore spelniaja nasz uklad , musimy dla kazdej pary sprawdzic czy hesjan (macierz drugich pochodnych czastkowych) jest dodatnio bądź ujemnie określona (robimy to przy użyciu kryterium Sylvestera) i w zależności od tego wiemy czy jest to minimum/maksimum albo wychodzi ze nie ma ekstremum
(To jest dopiero warunek dostateczny/wystarczający rownowazny z byciem ekstremum )

Wiec zacznijmy od nowa
Dana jest f-cja
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}+4xy-2y}\)
Pochodna czastkowa wzgledem x to: /przepraszam za taki zapis ale na razie slabo znam TeXa/
\(\displaystyle{ 4x^{3}-4x+4y}\)
Pochodna czastkowa wzgledem y to:
\(\displaystyle{ 4y^{3}+4x-2}\)
Układ równań
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{}4x^{3}-4x+4y=0 \\ 4y^{3}+4x-2=0 \end{array}}\)
Chyba jeszcze gorszy niż przedtem, po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ 4x^{3}+4y^{3}+4y-2=0}\)
Można jeszcze pomnożyć przez 1/2
\(\displaystyle{ 2x^{3}+2y^{3}+2y-1=0}\)
Ale to chyba niewiele pomoże
wlasnie z tymi wielomianami mam najwiekszy problem Sprobuje moze rozwiazac te uklady na macierzach.....Dzieki bardzo za pomoc. pozdrawiam
ggosia6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 lut 2008, o 13:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 1 raz

pierwiastki wielomianu

Post autor: ggosia6 »

Już mam pomysł jak to ugryźć:
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{}3x^2-6x-6y-15=0 \\ 3x^2+6xy-6y-15=0 \end{array}
\Rightarrow}\)


\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{} 3x^2+6xy-6y-15=0 \\ 6xy+6x=0 \end{array}
\Rightarrow}\)


\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{} 3x^2+6xy-6y-15=0 \\ 6x(y+1)=0 \end{array}
\Rightarrow}\)


\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{} 3x^2+6xy-6y-15=0 \\ ((y=-1) \vee (x=0)) \end{array}}\)
Teraz założmy, że \(\displaystyle{ x=0}\)
Wtedy nasze równanie \(\displaystyle{ 3x^2+6xy-6y-15=0}\) ma postać:
\(\displaystyle{ 6y-15=0}\)
Co daje nam rozwiązanie \(\displaystyle{ (0,5/2)}\)
Teraz założmy, że \(\displaystyle{ y=-1}\)
Wtedy nasze równanie \(\displaystyle{ 3x^2+6xy-6y-15=0}\) ma postać:
\(\displaystyle{ 3x^{2}-6x-9=0}\)
Co daje nam rozwiązanie
\(\displaystyle{ x _{1}=3 \Rightarrow y=-1}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=-1 \Rightarrow y=-1}\)
Zbiorczo zbior rozwiazan układu to:
\(\displaystyle{ (0,5/2),(3,-1),(-1,-1)}\)
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

pierwiastki wielomianu

Post autor: Jacek_fizyk »

ggosia6 pisze:Już mam pomysł jak to ugryźć:
\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{}3x^2-6x-6y-15=0 \\ 3x^2+6xy-6y-15=0 \end{array}
\Rightarrow}\)


\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{} 3x^2+6xy-6y-15=0 \\ 6xy+6x=0 \end{array}
\Rightarrow}\)


\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{} 3x^2+6xy-6y-15=0 \\ 6x(y+1)=0 \end{array}
\Rightarrow}\)


\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{} 3x^2+6xy-6y-15=0 \\ ((y=-1) \vee (x=0)) \end{array}}\)
Teraz założmy, że \(\displaystyle{ x=0}\)
Wtedy nasze równanie \(\displaystyle{ 3x^2+6xy-6y-15=0}\) ma postać:
\(\displaystyle{ 6y-15=0}\)
Co daje nam rozwiązanie \(\displaystyle{ (0,5/2)}\)
Teraz założmy, że \(\displaystyle{ y=-1}\)
Wtedy nasze równanie \(\displaystyle{ 3x^2+6xy-6y-15=0}\) ma postać:
\(\displaystyle{ 3x^{2}-6x-9=0}\)
Co daje nam rozwiązanie
\(\displaystyle{ x _{1}=3 \Rightarrow y=-1}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=-1 \Rightarrow y=-1}\)
Zbiorczo zbior rozwiazan układu to:
\(\displaystyle{ (0,5/2),(3,-1),(-1,-1)}\)
swietne rozwiazanie, tak jak w odpowiedziach.
dzieki bardzo za pomoc, pozdrawiam!!!
ODPOWIEDZ