suma, parzyste i nieparzyste współćzynniki, reszta

[kolega buahaha]

Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) stopnia większego niż 2 wynosi 4, zaś suma współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa się sumie współczynników przy jej parzystych potęgach. Wyznacz resztę z dzielenia W(x) przez \(\displaystyle{ P(x)=3x^2-3}\)

[BettyBoo]

Reszta R(x) z dzielenia W(x) przez P(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego, więc mamy W(x)=P(x)Q(x)+R(x)=3(x-1)(x+1)Q(x)+(ax+b).
Zatem W(1)=a+b, W(-1)=-a+b.

Z drugiej strony:
Ponieważ W(1) jest sumą współczynników, to W(1)=4.
Ponieważ W(-1) jest różnicą współczynników przy parzystych potęgach i przy nieparzystych, to W(-1)=0.

Mamy stąd układ równań a+b=4, -a+b=0 i ostatecznie R(x)=2x+2.

Pozdrawiam.