wielomian o współczynnikach tworzących ciąg
-
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 22 mar 2007, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
wielomian o współczynnikach tworzących ciąg
Wykazać że wielomian \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\) posiada jeden pierwiastek rzeczywisty jeśli jego współczynniki są rzeczywiste i tworzą ciąg geometryczny
- Ateos
- Użytkownik
- Posty: 1100
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 17:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Swarzędz
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 214 razy
wielomian o współczynnikach tworzących ciąg
ja bym skorzystal z
twoje rownanie mozna przeksztalcic do rownania:
\(\displaystyle{ (2)y^3+py+q=0}\), gdzie p,q,y to niewiadome(w sumie wiadome, zalezne od a,b,c,d)masz wzory do nich w poddziale: Pierwiastki rzeczywiste równania kanonicznego o współczynnikach rzeczywistych
teraz trzeba udowodnic nierownosc:
\(\displaystyle{ \Delta>0 \Leftrightarrow (\frac{p}{3})^3+( \frac{q}{2})^2>0}\), podstawiajac pod p i q. Sproboj moze cos wyjdzie
jesli rownanie (2) ma 1 pierwiastek rzeczywisty, to \(\displaystyle{ y=x+ \frac{b}{3a} \Rightarrow x= ..}\) prawa strona jest konkretna wartoscia, wiec tez jest tylko 1 pierwiastek rzeczywisty
problem w tym, ze nie znamy kolejnosci wyrazow tego ciagu, przy zalozeniu, ze kolejnosc to:
a,b,c,d wychodzi nierownosc wielomianowa(po przeksztalceniach): \(\displaystyle{ \frac{q^6}{81}>0 \Rightarrow q \in R}\). A wiec nierownosc spelniona dla dowolnego ciagu geometrycznego, czyli defakto udowodnilismy co mialo byc do udowodnienia.
twoje rownanie mozna przeksztalcic do rownania:
\(\displaystyle{ (2)y^3+py+q=0}\), gdzie p,q,y to niewiadome(w sumie wiadome, zalezne od a,b,c,d)masz wzory do nich w poddziale: Pierwiastki rzeczywiste równania kanonicznego o współczynnikach rzeczywistych
teraz trzeba udowodnic nierownosc:
\(\displaystyle{ \Delta>0 \Leftrightarrow (\frac{p}{3})^3+( \frac{q}{2})^2>0}\), podstawiajac pod p i q. Sproboj moze cos wyjdzie
jesli rownanie (2) ma 1 pierwiastek rzeczywisty, to \(\displaystyle{ y=x+ \frac{b}{3a} \Rightarrow x= ..}\) prawa strona jest konkretna wartoscia, wiec tez jest tylko 1 pierwiastek rzeczywisty
problem w tym, ze nie znamy kolejnosci wyrazow tego ciagu, przy zalozeniu, ze kolejnosc to:
a,b,c,d wychodzi nierownosc wielomianowa(po przeksztalceniach): \(\displaystyle{ \frac{q^6}{81}>0 \Rightarrow q \in R}\). A wiec nierownosc spelniona dla dowolnego ciagu geometrycznego, czyli defakto udowodnilismy co mialo byc do udowodnienia.
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2009, o 21:05 przez Ateos, łącznie zmieniany 1 raz.