Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
gaderyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: gaderyk »

Witam!
Mam problem z dwoma zadaniami z wielomianami.

Zad.1.
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{4} x ^{3} +px ^{2} +23x+q}\). Wyznacz p i q oraz oblicz jego pierwiastki wiedząc, że ich stosunek wynosi 1:3:5 oraz q<0

Próbowałem za pierwiastki podstawić T, 3T, 5T - coś jednak nie wyszło.

Zad. 2.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2} +3x}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x)=4x}\), a jednym z jego pierwiastków jest 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ F(x)=x ^{3} +2x ^{2} -3x}\)

Zacząłem w ten sposób \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}+3x) \cdot Q(x)+4x \ i \ W(x)=(x ^{3} +2x ^{2} -3x) \cdot Q _{2}(x) +ax ^{2} +bx+c}\)

Z góry dzięki!

-- 14 kwi 2009, o 20:27 --

Co do pierwszego wyszło mi p=-2 i q=-30, a pierwiastki odpowiednio 2, 6, 10.
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2009, o 21:39 przez gaderyk, łącznie zmieniany 1 raz.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: Rogal »

Naprawdę piękny post, chyba sobie w ramki oprawię :)
Żeby tak każdy zaczynał swą przygodę na tym forum.
Co do pierwszego, to na oko q jest dobrze policzone, więc i pewno reszta również.
W drugim natomiast popraw plus na mnożenie w pierwszej równości (to zapewne przeoczenie, ale gryzie po oczach) i moją pierwszą radą byłoby rozłożenie wielomianów P i F na czynniki i dobre przyjrzenie się wtedy tym równość ;)
gaderyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: gaderyk »

Mea culpa - przeoczenie faktycznie. A co do 2. zaraz się za niego biorę.
Dzięki za odpowiedź!
\(\displaystyle{ P(x)=x(x+3) \ i \ F(x)=x(x+3)(x-1)}\)
Jest wspólny czynnik x(x+3), czyli cały P(x)
ale znów się przyciąłem...
mikolajr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 01:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 49 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: mikolajr »

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+3x)(x-1)+4x}\)
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: Rogal »

Wstaw to sobie do obu obydwu wzorów na W(x). Następnie do tego wzoru z wielomianem F podstawiaj sobie kolejne pierwiastki wielomianu F. W przypadku x=0 i x=-3 wartość W(x) obliczasz z pierwszego wzoru, a w przypadku x = 1 wiesz, że to jest pierwiastek.
Dasz sobie radę.
gaderyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: gaderyk »

Coś idzie Ale dziś się ciężko myśli. Dokończę rano. Dzięki!
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: Rogal »

Powodzenia, jak coś zrobisz, to napisz, gdybyś nie był pewny.
gaderyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 19:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Pierwiastki wielomianu i jego podzielność

Post autor: gaderyk »

Okey! Wszystko wyszło! Ostatecznie \(\displaystyle{ R _{2} (x)=-x ^{x} +x}\) a parametry \(\displaystyle{ a=-1 \ \wedge \ b=-1 \ \wedge \ c=0}\). Znalazłem do tego gdzieś odpowiedź i faktycznie tak miało być. Dzięki za pomoc raz jeszcze !
ODPOWIEDZ