Ułozyć równanie

herbatka · Post autor: **herbatka** » 13 kwie 2009, o 20:23

Wiadomo, ze \(\displaystyle{ x _{1}, x_{2}, x_{3}}\) są pierwiastami równania \(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}-1 =0}\). Ułóż rónanie, którego pieriastkami są \(\displaystyle{ y_{1}=x_{1}+x_{2}, y_{2}=x_{1}+x_{3}, y_{3}=x_{2}+x_{3}}\).

Można skorzystać z wzorów Viete'a dla róniania trzeciego stopnia. Niestety dochodze do tego, ze udaje mi się obliczyć jeden ze współczynników \(\displaystyle{ y^{3}+py^{2}+qy+r=0}\), a dalej sie zacięłam.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 13 kwie 2009, o 20:34

Nie wystarczą wzory Viete'a. Aby znaleźć brakujące dwa współczynniki trzeba je rozpisać zgodnie ze wzorami Viete'a a następnie skorzystać z rozkładu wielomianu symetrycznego na wielomiany symetryczne podstawowe. Ich wartości są podane (wynikają z podanego wielomianu).

Pozdrawiam.

kkk · Post autor: **kkk** » 22 lut 2010, o 17:51

Hej!
Mam problem z tym samym zadaniem.
Otóż udaje mi się wyznzaczyć prawie wszystkie współczynniki z Viety, za wyjątkiem wyrazu wolnego. Rozpisuje iloczyn z Viety i niestety nie chce mi wyjść. Wychodzi coś typu:
\(\displaystyle{ -r = x_{1}^{2} \cdot ( x_{2} + x_{3} )}\)
Dalej nie wiem jak ruszyć. Pomoże ktoś?
Aha, rozkład wielomianu symetrycznego wolałbym ominąć.
Z góry dzięki za pomoc

Post autor: **Afish** » 22 lut 2010, o 19:06

\(\displaystyle{ (x _{1} +x_{2} )(x_{2} +x_{3} )(x_{3} +x_{1} ) = \\x_{1}x_{2}x_{3} +x_{1} ^{2} x_{2} +x_{1}x_{3} ^{2} +x_{1} ^{2} x_{3} +x_{2} ^{2}x_{3} +x_{1} x_{2} ^{2} +x_{2} x_{3} ^{2} +x_{1} x_{2} x_{3} =\\ x_{1} (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} ) + x_{2} (x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2}) + x_{3} (x_{1}x_{3} +x_{2} x_{3}) + 2 =\\ x_{1}(1-x_{2}x_{3}) + x_{2} (1-x_{1}x_{3}) + x_{3}(1-x_{1}x_{2})+2 =\\ x_{1} +x_{2} +x_{3} -x_{1}x_{2} x_{3} -x_{1}x_{2} x_{3} -x_{1}x_{2} x_{3} + 2 =\\ 3 - 3x_{1}x_{2} x_{3} = 3-3*1 = 0}\)

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem Bo jeżeli tak, to powyżej są kosmiczne głupoty

kkk · Post autor: **kkk** » 22 lut 2010, o 21:29

Niestety, pomyliłeś się...

Post autor: **Afish** » 23 lut 2010, o 09:49

No racja. Drobny błąd był.

\(\displaystyle{ (x _{1} +x_{2} )(x_{2} +x_{3} )(x_{3} +x_{1} ) = \\x_{1}x_{2}x_{3} +x_{1} ^{2} x_{2} +x_{1}x_{3} ^{2} +x_{1} ^{2} x_{3} +x_{2} ^{2}x_{3} +x_{1} x_{2} ^{2} +x_{2} x_{3} ^{2} +x_{1} x_{2} x_{3} =\\ x_{1} (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} ) + x_{2} (x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2}) + x_{3} (x_{1}x_{3} +x_{2} x_{3}) + 2 =\\ x_{1}(0-x_{2}x_{3}) + x_{2} (0-x_{1}x_{3}) + x_{3}(0-x_{1}x_{2})+2 =\\ -x_{1}x_{2} x_{3} -x_{1}x_{2} x_{3} -x_{1}x_{2} x_{3} + 2 =\\ 2 - 3x_{1}x_{2} x_{3} = 2-3*1 = -1}\)