Rozkład na czynniki wielomianu i jego podzielność

[Bartek1991]

Rozłóż na czynniki wielomian

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x}\)

Udowodnij, że wartość W(n)tego wielomianu dla dowolnej liczby naturalnej n jest podzielna przez 12. Dla jakich naturalnych n liczba W(n) nie jest podzielna przez 60 ?

Z rozłożeniem na czynniki nie miałem, wyszło \(\displaystyle{ W(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)}\), a jak sprawdzić te podzielności?

[moniczkaam]

Zeby udowodnic ze dla kazdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) wartosc wielomianu \(\displaystyle{ W(n)}\) jest podzielna przez 12 wystarczy powiedziec, ze wartosc tego wielomianu to jest wartosc mnozenia 4 kolejnych liczb naturalnych, wsrod ktorych na pewno 2 sa podzielne przez 2 i jedna jest podzielna przez 3, czyli razem jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2*2*3=12}\)

[BettyBoo]

W(n) dla każdego n jest iloczynem 4 kolejnych liczb - wobec tego na pewno co najmniej jedna jest podzielna przez 3 i jedna przez 4. jako, że NWD(3,4)=1, to znaczy, że W(n) jest podzielne przez ich iloczyn, czyli 12.

60=3*4*5 Ponieważ podzielnośc przez 12 mamy zapewnioną to chodzi o podzielność przez 5. Przez 5 nie dzieli się żadna z kolejnych 4 liczb tylko wtedy, gdy każda ma resztę niezerowa, co jest możliwe tylko wtedy, gdy pierwsza z nich daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5. Zatem n=5k+1.