Zadania z wielomianów

[czubakabra]

Witam,
Mam do zrobienia 15 zadań w wielomianów na poziomie liceum. Zrobiłem już większość z nich, zostały jeszcze tylko 5. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

1. Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ |x+2| = a^{2} - 4a + 3}\) ma dwa pierwiastki ujemne?
2. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ ||x^{2} - 4x + 3| - 2| = m}\) ma dwa pierwiastki różnych znaków?
3. Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = 2x^{4} + 4x^{3} + ax^{2} + bx + 2}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2}+x-2}\). Oblicz sumę odwrotności wszystkich pierwiastków danego wielomiany W(x);
4. Niech a,b,c będą pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} - 3x -1}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 1/(2-a) + 1/(2-b) + 1/(2-c)}\)
5. Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24}\)

Z góry dziekuję za pomoc.

[Tomasz Rużycki]

1. Proponuję graficzne rozwiązanie. Narysuj sobie \(\displaystyle{ f(x) = |x+2|}\), potraktuj \(\displaystyle{ g(x) = a^2-4a+3 = (a-1)(a-3)}\) jako prostą.

2. Rozpisz z definicji wartości bezwzględnej, rozważ dwa przypadki.

3. \(\displaystyle{ x^2+x-2 = (x+2)(x-1)}\), jest podzielny \(\displaystyle{ W(1) = 0\wedge W(-2) = 0}\).

4. Sprowadź do wspólnego mianownika, wykonaj wszystkie działania, po czym skorzystaj ze wzorów Viete'a.

5. \(\displaystyle{ 24 = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\), więc \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem:) Innych poszukaj sam.

[czubakabra]

1. Proponuję graficzne rozwiązanie. Narysuj sobie \(\displaystyle{ f(x) = |x+2|}\), potraktuj

5. \(\displaystyle{ 24 = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\), więc \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem:) Innych poszukaj sam.

OK, ale to jest takie zgadywanie. Próbowałem to powymnażać, przenieść 24 na drugą strone i spróbować spowrotem na czynniki rozłożyć (tak jak powinno sie to rozwiązywać) i na tym utknąłem. Wtedy by było widać na 100% ile jest i jakie są rozwiązania.

[Tomasz Rużycki]

A jak powiem, że poza zerem dany wielomian ma pierwiastek \(\displaystyle{ -5}\)? Znasz przecież twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

A poza tym, to nie jest zgadywanie, bo \(\displaystyle{ W(-5) = (-5+1)(-5+2)(-5+3)(-5+4) -24 = (-4)\cdot (-3)\cdot (-2)\cdot (-1) -24 = 24-24 = 0}\).