Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) dana wzorem:
\(\displaystyle{ f(x) = x^{4} + a x^{2} + 5^{ a^{2} - 1 } - 1}\) ma dokładnie trzy różne miejsca zerowe?
Funkcja z parametrem.
-
Brzytwa
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Funkcja z parametrem.
Ponieważ funkcja jest parzysta i ma nieparzystą liczbę miejsc zerowych, to jednym z nich musi być 0. Wówczas otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f(0)=5^{a^{2}-1}-1}\)
\(\displaystyle{ 1=5^{a^{2}-1}}\)
\(\displaystyle{ (a-1)(a+1)=0}\)
\(\displaystyle{ a=1 \ \vee \ a=-1}\)
Łatwo sprawdzić, że dla a=1 równanie ma tylko jedno rozwiązanie, a dla a=-1 trzy.
\(\displaystyle{ f(0)=5^{a^{2}-1}-1}\)
\(\displaystyle{ 1=5^{a^{2}-1}}\)
\(\displaystyle{ (a-1)(a+1)=0}\)
\(\displaystyle{ a=1 \ \vee \ a=-1}\)
Łatwo sprawdzić, że dla a=1 równanie ma tylko jedno rozwiązanie, a dla a=-1 trzy.