dwukrotny pierwiastek wielomianu
dwukrotny pierwiastek wielomianu
Wykaż, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3 +ax+b}\) ma pierwiastek dwukrotny, to \(\displaystyle{ 4a^3 +27b^2 =0}\)
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
dwukrotny pierwiastek wielomianu
Jeżeli ten wielomian ma dwukrotny pierwiastek p, to musi mieć jeszcze pierwiastek q.
\(\displaystyle{ W(x)=x^3 +ax+b=(x-p)^2(x-q)=x^3-2px^2+p^2x-qx^2+2pqx-p^2q=x^3-(2p+q)x^2+(p^2+2pq)x-p^2q \Leftrightarrow \begin{cases} 2p+q=0 \\ p^2+2pq=a\\ -p^2q=b\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q=-2p \\ p^2-4p^2=a\\-2p^3=b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q=-2p \\ -p^2=\frac{a}{3}\\-p^3=\frac{b}{2} \end{cases}.}\)
Podnoszę drugie równanie stronmai do sześcianu, a ostatnie stronami do kwadratu. Dostaję
\(\displaystyle{ \begin{cases}-p^6=\frac{a^3}{27}\\ p^6=\frac{b^2}{4} \end{cases}.}\)
Stąd po dodaniu stronami dostaję żądaną równość.
\(\displaystyle{ W(x)=x^3 +ax+b=(x-p)^2(x-q)=x^3-2px^2+p^2x-qx^2+2pqx-p^2q=x^3-(2p+q)x^2+(p^2+2pq)x-p^2q \Leftrightarrow \begin{cases} 2p+q=0 \\ p^2+2pq=a\\ -p^2q=b\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q=-2p \\ p^2-4p^2=a\\-2p^3=b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} q=-2p \\ -p^2=\frac{a}{3}\\-p^3=\frac{b}{2} \end{cases}.}\)
Podnoszę drugie równanie stronmai do sześcianu, a ostatnie stronami do kwadratu. Dostaję
\(\displaystyle{ \begin{cases}-p^6=\frac{a^3}{27}\\ p^6=\frac{b^2}{4} \end{cases}.}\)
Stąd po dodaniu stronami dostaję żądaną równość.