Równanie wielomianowe, rozkład na czynniki

patry93 · Post autor: **patry93** » 4 kwie 2009, o 13:03

Witam.

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ x^3 - 10x - 3 = 0}\) - złe!
Poprawne równanie: \(\displaystyle{ x^3 - 7x^2 + 20 = 0}\)
Zalecana metoda to rozkład na czynniki poprzez tzw. "sztuczne" dodanie/odjęcie czegoś, zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, wyciąganie przed nawias itp.

Cóż, ja metodą prób i błędów zauważyłem, że dla \(\displaystyle{ x=2}\) wielomian przyjmuje wartość 0, więc jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\) i po podzieleniu otrzymuję:
\(\displaystyle{ x^3 - 7x^2 + 20 = (x-2)(x^2-5x-10)}\)
Potem wyliczyłem deltę i pierwiastki, przez co uzyskałem następującą postać iloczynową:
\(\displaystyle{ (x-2)( x - \frac{5 - \sqrt{65}}{2} ) (x- \frac{5+ \sqrt{65}}{2} )}\)

Hm, niby po dojściu do rozwiązania powinno mi być łatwiej zrobić to zadanie "zalecanym" sposobem (tj. takie jest polecenie w zadaniu), lecz nijak nie potrafię tego ładnie zwinąć...

W najlepszym wypadku udało mi się dojść do takiej postaci:
\(\displaystyle{ x^2 (x-16) + 36 + (3x-4)(3x+4)}\)

Proszę o podpowiedź w jaki sposób można elegancko zwijać tego typu wyrażenia.

Pozdrawiam, P.

[Post edytowany z powodu mojej głupoty i nieuwagi - przepraszam]

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 4 kwie 2009, o 13:07

\(\displaystyle{ x^{3}-10x-3=x^{3} -8x^{2}+8x^{2}-16x+6x-3=...}\)

xanowron · Post autor: **xanowron** » 4 kwie 2009, o 13:28

A tak poza tym, na przyszłość, to jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite to są one dzielnikami wyrazu wolnego.
I dla \(\displaystyle{ x=2}\) za nic nie chce mi wyjść \(\displaystyle{ 0}\) po podstawieniu.

patry93 · Post autor: **patry93** » 4 kwie 2009, o 13:36

OMG, przepraszam za zamieszanie Myślałem o innym przykładzie, a przepisałem inny o_O

Poprawne równanie to: \(\displaystyle{ x^3 -7x^2 + 20 = 0}\)
I to, co napisałem w 1. poście już odnosi się raczej poprawnie do tego równania.

Proszę zatem o podpowiedź jak rozłożyć już dobry wielomian

[PS zaktualizuję za chwilkę 1. post, co by wszystko się zgadzało ]

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 4 kwie 2009, o 15:14

\(\displaystyle{ x^3 -7x^2 + 20 = x^{3}-2x^{2}-5x^{2}+10x-10x+20=...}\)

patry93 · Post autor: **patry93** » 4 kwie 2009, o 21:21

Dziękuję.

Jeszcze jeden przykład, z którym nie mogę sobie poradzić:
\(\displaystyle{ x^3 - 2 \sqrt{3} x^2 + 3 \sqrt{3} = 0}\)

Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3} (1-x)(1+x) + x^2(x+ \sqrt{3} )}\)
i oczywiście utknąłem... :/

Jest w ogóle jakiś "przybliżony" sposób na to? -- 5 kwietnia 2009, 10:46 --Ech, kombinuję dalej i tym razem doszedłem do takiej postaci:
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3})^2 (x+ \sqrt{3} ) + 3 \sqrt{3} x^2 + 3x}\)
Zła droga?

frej · Post autor: **frej** » 7 kwie 2009, o 19:51

\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem.