Równanie wielomianowe z parametrem

n0o · Post autor: **n0o** » 4 lut 2006, o 14:47

Pomoże ktoś??

Dla jakich wartości parametru m równanie
mx � -(2m+1)x � +(2-3m)x=0 ma rozwiazania których suma jest dodatnia.

arigo · Post autor: **arigo** » 4 lut 2006, o 15:02

x przed nawias a potem zadbaj o to by pozostaly trojmian kwadratowy mial 2 pierwiastki dodatnie

n0o · Post autor: **n0o** » 4 lut 2006, o 15:12

a właśnie czyli jakie mam dać załżenia??

Tristan · Post autor: **Tristan** » 4 lut 2006, o 15:15

Czyli trójmian musi spełniać warunki: delta większa od zera i suma pierwiastków większa od zera. Rozpisując pierwszy warunek mamy:
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ (2m+1)^2 -4m(2-3m)>0}\)
\(\displaystyle{ 4m^2+4m+1-8m+12m^2>0}\)
\(\displaystyle{ 16m^2-4m+1>0}\)
Teraz licząc delte "m", okazuje się, że jest ona ujemna. Co nam to daje? Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatki, to wykres jest "uśmiechnięty" i cały nad osią OX, więc każde rzeczywiste m spełnia tą nierówność, więc z pierwszego warunku mamy, że \(\displaystyle{ m \in R}\).
Przy drugim warunku korzystamy z wzorów Viete'a, tj.:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2m+1}{m}>0}\)
\(\displaystyle{ (2m+1)m>0}\)
\(\displaystyle{ 2m(m+ \frac{1}{2})>0}\)
\(\displaystyle{ m \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; \infty)}\)
Należy wspomnieć, że gdyby był znak \(\displaystyle{ \geq}\) to oczywiście trzeba pamiętać, że m=0 wykluczamy z rowiązania, bo na początku, w nierówności "m" jest w mianowniku, więc od zera musi być różne.
Ponieważ te dwa warunki (delta i pierwiastki) muszą zachodzić jednocześnie, to bierzemy część wspólną z rozwiązanych nierówności, więc odpowiedzą jest: \(\displaystyle{ m \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; \infty)}\).

n0o · Post autor: **n0o** » 4 lut 2006, o 15:17

dzięki Tristan

kalif · Post autor: **kalif** » 22 lut 2006, o 00:36

\(\displaystyle{ (2m+1)^2 -4m(2-3m)>0}\)

jak udalo Ci sie dojsc do tej postaci?

pozdrawiam

Tristan · Post autor: **Tristan** » 22 lut 2006, o 00:50

Dla funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\), \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac}\). W naszym przypadku \(\displaystyle{ a=m, b=-(2m+1), c=2-3m}\). Teraz podstaw to do delty, a zobaczysz, jak udało mi się do tego dojść

solarq · Post autor: **solarq** » 22 lut 2006, o 23:18

Zatem trójmina, który powstaje po wyciągnięciu x może mieć dwa pierwiastki o różnych znakach, istotne jest natomiast to, że ich suma jest większa od 0. Czy dlatego właśnie wystarczy tutaj warunek na sume pierwiastków, a ich iloczyn jest nieistotny?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 23 lut 2006, o 00:45

Tak, ponieważ w zadaniu proszą tylko o warunek, by suma pierwiastków była dodatnia