Prosze o pomoc z nastepujacymi równaniami:
\(\displaystyle{ x^4 - x^3 - 5x^2 +3x + 6 = 0}\)
\(\displaystyle{ x^5 - 3x^3 - 10x = 0}\)
Równania wielomianowe
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Równania wielomianowe
wskazówki:
\(\displaystyle{ x^4-x^3-2x^2-3x^2+3x+6=0 \Leftrightarrow x^2(x^2-x-2)-3(x^2-x-2)=0 \Leftrightarrow (x^2-x-2)(x^2-3)=0 \Leftrightarrow ...}\)
\(\displaystyle{ x(x^4-3x^2-10)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x^4-3x^2-10=0}\)
zmienna pomocnicza do drugiego równania: \(\displaystyle{ x^2=t \ge 0: \ t^2-3t-10=0}\)
\(\displaystyle{ x^4-x^3-2x^2-3x^2+3x+6=0 \Leftrightarrow x^2(x^2-x-2)-3(x^2-x-2)=0 \Leftrightarrow (x^2-x-2)(x^2-3)=0 \Leftrightarrow ...}\)
\(\displaystyle{ x(x^4-3x^2-10)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x^4-3x^2-10=0}\)
zmienna pomocnicza do drugiego równania: \(\displaystyle{ x^2=t \ge 0: \ t^2-3t-10=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Równania wielomianowe
\(\displaystyle{ x^5-3x^3-10x=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^4-3x^2-10)=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x^4-3x^2-10=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=49}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =7}\)
\(\displaystyle{ x_{1}^{2} = -2}\) tego wyniku nie byerzemy pod uwagę, gdyż nie istnieje taka liczba, która po podniesieniu do kwadratu da liczbe ujemną
\(\displaystyle{ x_{2}^2 = 5 \Rightarrow x=- \sqrt{5} \vee x= \sqrt{5}}\)
równanie posiada 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ x=1 , x= -\sqrt{5}, x= \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ x(x^4-3x^2-10)=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x^4-3x^2-10=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=49}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =7}\)
\(\displaystyle{ x_{1}^{2} = -2}\) tego wyniku nie byerzemy pod uwagę, gdyż nie istnieje taka liczba, która po podniesieniu do kwadratu da liczbe ujemną
\(\displaystyle{ x_{2}^2 = 5 \Rightarrow x=- \sqrt{5} \vee x= \sqrt{5}}\)
równanie posiada 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ x=1 , x= -\sqrt{5}, x= \sqrt{5}}\)
Równania wielomianowe
Dziekuje Chciałbym jeszcze zapytać odnosnie tego przykladu 1 czy jest może jakiś wzór na ten rozklad czy to kwestia praktyki??A może jakieś wskazówki??
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Równania wielomianowe
Oczywiście im więcej takich przykładów, tym większa wprawa, ale spróbuję Ci wytłumaczyć mój tok rozumowania.
Trik polega na przyjrzeniu się współczynnikom przy potęgach i zaobserwowaniu pewnej prawidłowości:
\(\displaystyle{ a_4=1\\
a_3=-1\\
a_2=-5\\
a_1=3\\
a_0=6}\)
Możliwe, że będzie warto rozdzielić wyraz \(\displaystyle{ a_2}\) wielomianu na sumę dwóch wyrazów.
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a_1=-3a_3=-3(-1)=3}\)
Zatem warto rozdzielić wyraz \(\displaystyle{ a_2}\), tak aby:
\(\displaystyle{ a_0=-3a_{(2)}=6 \Leftrightarrow a_{(2)}=-2}\)
Więc: \(\displaystyle{ x^4-x^3-2x^2-3x^2+3x+6=x^2(x^2-x-2)-3(x^2-x-2)}\)
Nie wiem, czy za bardzo nie zakręciłam.
Trik polega na przyjrzeniu się współczynnikom przy potęgach i zaobserwowaniu pewnej prawidłowości:
\(\displaystyle{ a_4=1\\
a_3=-1\\
a_2=-5\\
a_1=3\\
a_0=6}\)
Możliwe, że będzie warto rozdzielić wyraz \(\displaystyle{ a_2}\) wielomianu na sumę dwóch wyrazów.
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a_1=-3a_3=-3(-1)=3}\)
Zatem warto rozdzielić wyraz \(\displaystyle{ a_2}\), tak aby:
\(\displaystyle{ a_0=-3a_{(2)}=6 \Leftrightarrow a_{(2)}=-2}\)
Więc: \(\displaystyle{ x^4-x^3-2x^2-3x^2+3x+6=x^2(x^2-x-2)-3(x^2-x-2)}\)
Nie wiem, czy za bardzo nie zakręciłam.