Równania wielomianowe

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
xplode111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 27 mar 2009, o 19:25
Płeć: Mężczyzna

Równania wielomianowe

Post autor: xplode111 »

Prosze o pomoc z nastepujacymi równaniami:

\(\displaystyle{ x^4 - x^3 - 5x^2 +3x + 6 = 0}\)

\(\displaystyle{ x^5 - 3x^3 - 10x = 0}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Równania wielomianowe

Post autor: mmoonniiaa »

wskazówki:
\(\displaystyle{ x^4-x^3-2x^2-3x^2+3x+6=0 \Leftrightarrow x^2(x^2-x-2)-3(x^2-x-2)=0 \Leftrightarrow (x^2-x-2)(x^2-3)=0 \Leftrightarrow ...}\)

\(\displaystyle{ x(x^4-3x^2-10)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x^4-3x^2-10=0}\)
zmienna pomocnicza do drugiego równania: \(\displaystyle{ x^2=t \ge 0: \ t^2-3t-10=0}\)
agulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3090
Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 879 razy

Równania wielomianowe

Post autor: agulka1987 »

\(\displaystyle{ x^5-3x^3-10x=0}\)

\(\displaystyle{ x(x^4-3x^2-10)=0}\)

\(\displaystyle{ x=0 \vee x^4-3x^2-10=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=49}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =7}\)

\(\displaystyle{ x_{1}^{2} = -2}\) tego wyniku nie byerzemy pod uwagę, gdyż nie istnieje taka liczba, która po podniesieniu do kwadratu da liczbe ujemną

\(\displaystyle{ x_{2}^2 = 5 \Rightarrow x=- \sqrt{5} \vee x= \sqrt{5}}\)

równanie posiada 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ x=1 , x= -\sqrt{5}, x= \sqrt{5}}\)
xplode111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 27 mar 2009, o 19:25
Płeć: Mężczyzna

Równania wielomianowe

Post autor: xplode111 »

Dziekuje Chciałbym jeszcze zapytać odnosnie tego przykladu 1 czy jest może jakiś wzór na ten rozklad czy to kwestia praktyki??A może jakieś wskazówki??
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Równania wielomianowe

Post autor: mmoonniiaa »

Oczywiście im więcej takich przykładów, tym większa wprawa, ale spróbuję Ci wytłumaczyć mój tok rozumowania.

Trik polega na przyjrzeniu się współczynnikom przy potęgach i zaobserwowaniu pewnej prawidłowości:
\(\displaystyle{ a_4=1\\
a_3=-1\\
a_2=-5\\
a_1=3\\
a_0=6}\)


Możliwe, że będzie warto rozdzielić wyraz \(\displaystyle{ a_2}\) wielomianu na sumę dwóch wyrazów.
Zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a_1=-3a_3=-3(-1)=3}\)
Zatem warto rozdzielić wyraz \(\displaystyle{ a_2}\), tak aby:
\(\displaystyle{ a_0=-3a_{(2)}=6 \Leftrightarrow a_{(2)}=-2}\)
Więc: \(\displaystyle{ x^4-x^3-2x^2-3x^2+3x+6=x^2(x^2-x-2)-3(x^2-x-2)}\)

Nie wiem, czy za bardzo nie zakręciłam.
ODPOWIEDZ