Podzielność wielomianu

[nykus]

Wielomian f przy dzieleniu przez dwumian x-1 daje resztę 2; przy dzieleniu przez dwumian x-2 daje resztę 3; przy dzieleniu przez dwumian x-3 daje resztę 4. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu f przez wielomian \(\displaystyle{ x^3-6x^2+11x-6}\).

Zauważyłem , że \(\displaystyle{ x^3-6x^2+11x-6\,=\,(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Oczywiście istnieją \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3\in R[x]}\) takie, że:
\(\displaystyle{ f\,=\,(x-1)p_1+2}\)
\(\displaystyle{ f\,=\,(x-2)p_2+3}\)
\(\displaystyle{ f\,=\,(x-3)p_3+4}\)

A znaleźć mamy r z równania:
\(\displaystyle{ f\,=\,(x-1)(x-2)(x-3)p+r}\)
takie aby nie było podzielne przez (x-1)(x-2)(x-3)....

I tutaj utknąłem - jakiekolwiek próby rozwiązania tego układu równań ze względu na r nie dają nic sensownego...

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)q(x) + ax^2+bx+c}\)

\(\displaystyle{ f(1)=2=a+b+c}\),
\(\displaystyle{ f(2)=3=4a+2b+c}\),
\(\displaystyle{ f(3)=4=9a+3b+c}\).

Układ trzech równań z trzema niewiadomymi, poradzisz sobie.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[nykus]

Dzięki wielkie Pozdrawiam