Rozkład wielomianu

[Chromosom]

W jaki sposób można rozłożyć wielomian na wielomiany niższych stopni?
Ostatnio miałem problem z takimi przykładami:
\(\displaystyle{ 9x^4-3x^3-23x^2+30x-1}\)
\(\displaystyle{ 10x^3+40x^2+40x+6}\)
i nie bardzo wiem, jak to zrobić ;/
dziękuję za pomoc!

[Mariusz M]

Tu masz odnośnik do pliku pdf w którym jest objaśnione jak rozwiązywać takie równania

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

\(\displaystyle{ 9x^4-3x^3-23x^2+30x-1=0}\)

\(\displaystyle{ 9x^4-3x^3=23x^2-30x+1}\)

\(\displaystyle{ 9x^4-3x^3+ \frac{1}{4}x^2 =23x^2+ \frac{1}{4}x^2 -30x+1}\)

\(\displaystyle{ \left( 3x^2- \frac{1}{2}x \right)^2 = \frac{93}{4}x^2 - 30x+1}\)

\(\displaystyle{ \left( 3x^2- \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}y \right)^2 = \frac{93}{4}x^2 - 30x+1+3yx^2- \frac{1}{2}xy+ \frac{1}{4}y^2}\)

\(\displaystyle{ \left( 3x^2- \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}y \right)^2 = \left(3y+\frac{93}{4}\right)x^2 + \left( - \frac{1}{2}y -30\right)x+ \frac{1}{4}y^2 +1}\)

\(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{2}y-30 \right)^2= \left( y^2+4\right) \left( 3y+ \frac{93}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}y^2+30y+900 = 3y^3+ \frac{93}{4}y^2+12y+93}\)

\(\displaystyle{ 3y^3+ 23y^2-18y-807=0}\)

Niech y będzie dowolnym pierwiastkiem powyższego równania rozwiązującego
wtedy obie strony równania będą kwadratami zupełnymi
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymamy
iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

[Rogal]

Pewno to zrobiłeś, ale wolę sobie oszczędzić liczenia - sprawdziłeś wszystkie możliwe pierwiastki wymierne?

[xanowron]

Walnij sobie to równanie , imo jest jakiś błąd w treści, albo chodzi o wykazanie np. że JEST pierwiastek, bo dokładne obliczenie, nawet korzystając z ogólnych metod zajmie chyba zbyt dużo czasu

[Chromosom]

Wielomiany pojawiły się w całkach z funkcji wymiernych w zbiorze Krysickiego i Włodarskiego, zazwyczaj rozkładam je przez podzielniki wyrazu wolnego, ale w sumie to nie bardzo mi to wychodzi ;p

[Mariusz M]

Wielomiany pojawiły się w całkach z funkcji wymiernych w zbiorze Krysickiego i Włodarskiego, zazwyczaj rozkładam je przez podzielniki wyrazu wolnego, ale w sumie to nie bardzo mi to wychodzi ;p

Przeczytałeś ten pdf ?

Jeżeli chodzi o rozkład wielomianu na potrzeby całkowania to najlepsza jest metoda Ferrariego
ponieważ sprowadzamy wielomian do postaci rożnicy kwadratów tak jak to pokazałem
Metoda Ferrariego jest dosyć prosta

1. Przenosimy trójmian kwadratowy na drugą stronę równania
2. Sprowadzamy lewą stronę równania do kwadratu zupełnego
dodając stronami odpowiedni wyraz (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia)
Aby prawa strona była kwadratem zupełnym jej wyróżnik musi być równy zero
3. Wprowadzamy nową zmienną , obliczamy wyróżnik i przyrównujemy go do zera
Dostajemy równanie trzeciego stopnia względem wprowadzonej zmiennej
które należy rozwiązać np metodą del Ferro i Tartaglii
4. W miejsce wprowadzonej zmiennej wstawiamy dowolny pierwiastek równania trzeciego
stopnia
5. Teraz gdy obie strony równania są kwadratami zupełnymi należy skorzystać ze
wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów aby
otrzymać iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych .

Aby rozwiązać równanie trzeciego stopnia trzeba
użyć dwóch podstawień

\(\displaystyle{ y=x+ \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

otrzymamy równanie postaci

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)

oraz

\(\displaystyle{ y=u+v}\)

otrzymamy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases}}\)

Powyższy układ równań to wzory Viete równania drugiego stopnia

\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)

Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) dobieramy tak aby spełniony był również
pierwszy układ równań

[Rogal]

mariuszm, ja Ci mówię, że to nie ma kompletnego sensu - napisz tutaj rozkład któregoś z tych wielomianów, to pogadamy, jak to będzie całkował.
Chromosom, jeśli to jest całka z Krysickiego, Włodarskiego, to rzuć okiem w temat bodaj Szemka w Kompendium ze wszystkim całkami z tego zbioru.

[Mariusz M]

Dla pierwszego wielomianu pierwiastek równania rozwiązującego ma postać

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{18} \left( \sqrt[3]{642356-108 \sqrt{33565253} } + \sqrt[3]{642356+108 \sqrt[3]{33565253} } -46\right)}\)

Pierwiastek ten należy wstawić do równania

\(\displaystyle{ \left( 3x^2- \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}y \right)^2 = \left(3y+\frac{93}{4}\right)x^2 + \left( - \frac{1}{2}y -30\right)x+ \frac{1}{4}y^2 +1}\)

następnie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
aby otrzymać iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

[Rogal]

Fajoszko, wstaw i podaj pierwiastki tego równania. Tyle to każdy głupi potrafi.
Potem jeszcze scałkuj, w końcu trzeba być hardcorem do końca.