Zadanie brzmi: Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ (x-3)(x-4)(x-7)(x-8)=12}\) Wymnożyłem to, ale nic ciekawego nie wyszło raczej, ktoś ma pomysł?
Rozwiązanie troszke innego równania?
-
Potekk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piastów
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 35 razy
Rozwiązanie troszke innego równania?
\(\displaystyle{ (x-3)(x-4)(x-7)(x-8)=12}\)
niech \(\displaystyle{ t=x-5,5}\) oraz \(\displaystyle{ s=t^2 \wedge s \ge 0}\)
wtedy równianie w postaci
\(\displaystyle{ (t+ \frac{5}{2} )(t+ \frac{3}{2} )(t-\frac{3}{2})(t-\frac{5}{2} )=12 \Leftrightarrow (t^2 - \frac{25}{4})(t^2 - \frac{9}{4})=12 \Leftrightarrow \\ t^4 - \frac{17}{2}t^2 + \frac{225}{16}-12=0 \Leftrightarrow s^2 - \frac{17}{2}s + \frac{33}{16} =0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= \frac{17^2}{4} - \frac{33}{4}=64}\)
więc \(\displaystyle{ s= \frac{1}{4} \vee s= \frac{33}{4}}\)
Podstawiam
\(\displaystyle{ t^2 \in \lbrace \frac{1}{4};\frac{33}{4} \rbrace \Leftrightarrow t \in \lbrace -\frac{ \sqrt{33} }{2} ;-\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{ \sqrt{33} }{2}\rbrace \Leftrightarrow x \in \lbrace 5;6; \frac{ \sqrt{33} +11}{2}; -\frac{ \sqrt{33}-11 }{2} \rbrace}\)
niech \(\displaystyle{ t=x-5,5}\) oraz \(\displaystyle{ s=t^2 \wedge s \ge 0}\)
wtedy równianie w postaci
\(\displaystyle{ (t+ \frac{5}{2} )(t+ \frac{3}{2} )(t-\frac{3}{2})(t-\frac{5}{2} )=12 \Leftrightarrow (t^2 - \frac{25}{4})(t^2 - \frac{9}{4})=12 \Leftrightarrow \\ t^4 - \frac{17}{2}t^2 + \frac{225}{16}-12=0 \Leftrightarrow s^2 - \frac{17}{2}s + \frac{33}{16} =0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= \frac{17^2}{4} - \frac{33}{4}=64}\)
więc \(\displaystyle{ s= \frac{1}{4} \vee s= \frac{33}{4}}\)
Podstawiam
\(\displaystyle{ t^2 \in \lbrace \frac{1}{4};\frac{33}{4} \rbrace \Leftrightarrow t \in \lbrace -\frac{ \sqrt{33} }{2} ;-\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{ \sqrt{33} }{2}\rbrace \Leftrightarrow x \in \lbrace 5;6; \frac{ \sqrt{33} +11}{2}; -\frac{ \sqrt{33}-11 }{2} \rbrace}\)