Równanie wielomainowe z parametrem - 3 zadania

[Moozyk]

1. znajdz takie wartosci parametrow a i b zeby wielomiany
\(\displaystyle{ f(x) = (x^2+p)^2}\)
\(\displaystyle{ g(x) = (x^2-r)(x^2+2)}\)

2. liczby 1 i 4 sa pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ w(x) = x^4 - 8x^3 + 9 x^2 + 38x - 40}\)

3. dla jakich wartosci a i b wielomian
\(\displaystyle{ w(x) - x^4 - 3x^3 + bx^2 + ax + b}\)
podzielny przez \(\displaystyle{ x^2 - 1}\)

prosze o wskazowki

[maise]

1. żeby wielomiany...?

2.
układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
1^4-8 \cdot 1^3+9 \cdot 1^2+38 \cdot 1-40=0\\
4^4-8 \cdot 4^3+9 \cdot 4^2+38 \cdot 4-40=0
\end{cases}}\)

[Baca48]

1. "znajdz takie wartosci parametrow a i b zeby wielomiany" ... no właśnie, żeby co?

Jeśli chodzi o to, żeby były równe, to pierwsze podnosisz do kwadratu, w drugim wymnażasz nawiasy przez siebie i następnie porównujesz współczynniki przy odpowiednich potęgach (oczywiście drugim warunkiem musi być ten sam stopień wielomianu, ale to bez liczenia widać, że obydwa są wielomianami czwartego stopnia).

2. Rozumiem, że poleceniem jest: rozłóż na czynniki lub znajdź pierwiastki? Z twierdzenia Bezout'a wynika, że jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu to wielomian ten dzieli się bez reszty przez dwumian (x-a). Jak podzielisz ten wielomian przez (x-1)(x+4) zostanie Ci wielomian stopnia drugiego, który bez problemu rozłożysz dalej na czynniki.

3.

\(\displaystyle{ x^2-1}\)

\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)}\)

Z twierdzenia Bezout'a wynika, że liczby 1 i -1 są pierwiastkami tego wielomianu, więc:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=0 \\ W(-1)=0 \end{cases}}\)

[Moozyk]

w 2 zad chodzi o to zeby znalezsc pozostalem pierwiastki

a w 1: kiedy są równe

3 zad juz rozumiem, dzieki wielkie

[maise]

Raczej p i r tu widzę:P

\(\displaystyle{ (x^2+p)^2=(x^2-r)(x^2+2)\\
x^4+2px^2+p^2=x^4+2x^2-rx^2-2r\\
x^4-2px^2+p^2=x^4+(2-r)x^2-2r\\
2px^2+p^2=(2-r)x^2-2r\\
\\
\Rightarrow
\begin{cases}
2px^2=(2-r)x^2\\
p^2=-2r
\end{cases}}\)