Rozwiąż równanie

[mero]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x \left| x^{2}-4\right| +x-2=0}\)

[Rogal]

Rozpatrz dwa przypadki, jak zazwyczaj.

[mero]

A mógłbym prosić o pełne rozwiązanie ? Byłbym bardzo wdzięczny.

[mmoonniiaa]

\(\displaystyle{ x \left| x^{2}-4\right| +x-2=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x ( x^{2}-4) +x-2=0 \\ x \in (- \infty ;-2>\cup<2;+ \infty ) \end{cases} \vee \begin{cases} x [-( x^{2}-4)] +x-2=0 \\ x \in (-2;2 ) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-2)(x(x+2)+1)=0 \\ x \in (- \infty ;-2>\cup<2;+ \infty ) \end{cases} \vee \begin{cases} (x-2)(-x(x+2)+1)=0 \\ x \in (-2;2 ) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-2)(x^2+2x+1)=0 \\ x \in (- \infty ;-2>\cup<2;+ \infty ) \end{cases} \vee \begin{cases} (x-2)(-x^2-2x+1)=0 \\ x \in (-2;2 ) \end{cases} \Leftrightarrow ...}\)
Dokończ samodzielnie

[mero]

Dokończ samodzielnie

Ale ja już nie pamiętam jak się robi tego typu zadań, dlatego byłbym wdzięczny za pełne rozwiązanie..

[mmoonniiaa]

Proponuję przypomnieć sobie rozwiązywanie równań wielomianowych...
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x+1)=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)^2=0 \Leftrightarrow (x=2 \vee x=-1) \wedge x \in (- \infty ;-2>\cup<2;+ \infty ) \Leftrightarrow x=2}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x-1)=0 \Leftrightarrow ...}\)
Na pewno umiesz wyliczyć deltę i pierwiastki równania kwadratowego...-- 17 marca 2009, 18:11 --mero, pytasz się co dalej - odpowiadam: sprawdź czy rozwiązania równania wielomianowego (te dwa pierwiastki, które wyliczyłeś oraz x=2) należą do przedziału \(\displaystyle{ (-2;2)}\)
Metody rozwiązywania równań możesz znaleźć nie tylko w podręcznikach, odsyłam Cię

[mero]

\(\displaystyle{ x \left| x^{2}-4\right| +x-2=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-4=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+2) = 0}\)
\(\displaystyle{ x -2 = 0 \vee x +2 = 0}\)
\(\displaystyle{ x= 2 \vee x = -2}\)

tutaj rysunek

1.\(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-2>\cup<2;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ x ( x^{2}-4) +x-2=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x(x+2)+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2+2x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ x=2 \vee x=-1}\)
więc \(\displaystyle{ x = 2}\) bo \(\displaystyle{ x = -1}\) nie spełnia warunku

2. \(\displaystyle{ x \in (-2;2 )}\)
\(\displaystyle{ x [-( x^{2}-4)] +x-2=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(-x(x+2)+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(-x^2-2x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x=2}\) - nie spelnia warunku

\(\displaystyle{ \Delta=4+4=8}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{2+ 2\sqrt{2}}{-2} = -1 - \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{2- 2\sqrt{2}}{-2} = -1 + \sqrt{2}}\)
więc \(\displaystyle{ x = -1 + \sqrt{2}}\) bo \(\displaystyle{ x= -1 - \sqrt{2}}\) nie spełnia warunku

Odp. Rozwiązaniem równania dla x są liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -1+\sqrt{2}}\)