Rysowanie wykresu wielomianu - od dołu czy od góry?

pavel · Post autor: **pavel** » 15 mar 2009, o 23:11

"wykres zaczynamy rysować z prawej strony jeżeli \(\displaystyle{ a ^{n} > 0}\) od góry, jeżeli \(\displaystyle{ a^{n} < 0}\) od dołu"

Jak mam to rozumieć?
załóżmy że mam przykłady
a) \(\displaystyle{ (2-x)(3x+1)(2x-3)>0}\)
b) \(\displaystyle{ (2x+3)(2x+1)(x-1)<0}\)

analizując odpowiedzi w zbiorze zadań udało mi się ustalić, że pierwszy wykres zaczynam rysować od dołu, a drugi od góry, lecz dlaczego tak jest?

111sadysta · Post autor: **111sadysta** » 15 mar 2009, o 23:36

wymnóż te nawiasy
a) współczynnik przy najwyższej potędze: \(\displaystyle{ -6x^3}\) patrzymy, że współczynnik jest \(\displaystyle{ -6}\) więc rysujemy od dołu
b) współczynnik przy najwyższej potędze: \(\displaystyle{ 4x^3}\) patrzymy, że współczynnik jest \(\displaystyle{ 4}\) więc rysujemy od góry

UWAGA rysujemy od prawej strony

wyliczamy miejsca zerowe, jak potega jest parzysta to się odbija od wykresu, a jak nieparzysta to przechodzi przez wykres, na końcu dopiero sprawdzamy znak, i zakresujemy pod osia czy nad osia i zapisujemy przedział

--------------------------------------------------------------

przykład zadania \(\displaystyle{ x(x-1)^2(x+1) \le 0}\)

\(\displaystyle{ x \in <-1;0>\cup\{1\}}\)

migotka_gap · Post autor: **migotka_gap** » 21 cze 2009, o 13:14

a jak mam taki przykład \(\displaystyle{ x^{2}(3-4x)=0}\)
no to patrząc na znak przy najwyższej potędze x to powinnam zaczać rysować od góry bo \(\displaystyle{ x^{2}}\)jest dodatnie, a w zeszycie mam,że zaczyna sie z prawej od dołu. Czy to błąd?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 21 cze 2009, o 13:20

zawsze patzy się na współczynnik stojący przed x w najwyższej potędze- tutaj jest to \(\displaystyle{ -4}\)
(bo najwyzsza potęga to \(\displaystyle{ -4x^{3}}\))

Wooler · Post autor: **Wooler** » 21 cze 2009, o 17:13

patrzysz na znak przy najwyższej potędze X i jesli jest minus rysujesz od dołu i na odwrót

3star · Post autor: **3star** » 27 kwie 2011, o 19:27

No dobrze. Piszecie, że jeżeli potęga jest parzysta linia wykresu "odbija się" od miejsca zerowego.
Zatem dlaczego wykres wyrażenia \(\displaystyle{ x^3-x^2-4x+4}\) nie odbije się nigdzie, mimo tego iż jest \(\displaystyle{ x^2}\). Po doprowadzeniu do formy której nazwy nigdy nie potrafię zapamiętać wychodzi: \(\displaystyle{ (x-2)(x+2)(x-1)}\)

Mam nadzieje, że ktoś mi to jakoś wytłumaczy w miarę przystępnie

optymistka94 · Post autor: **optymistka94** » 24 sie 2011, o 19:41

Witam mam pytanie związane z rysowaniem wykresów wielomianów.
czy istnieje jakaś zasada jak wysoko odbijać wykres od miejsca zerowego ?

z góry dziękuję

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 24 sie 2011, o 19:48

Nie. Nie ma to znaczenia

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 25 sie 2011, o 11:32

3star, Wykres odbija się od miejsca zerowego tylko gdy w postaci iloczynowej masz kwadrat lub inną parzystą potęgę. Przykład:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} (x-2)^{2}(x-1)(x+1) ^{3} >0}\)

Taka postać to postać iloczynowa. Zawsze sprowadzamy do takiej postaci, bo stąd widać pierwiastki wielomianu. W przykładzie miejsca zerowe to 0,1,2,-1. Jak widzimy współczynnik przy najwyższej potędze x jest dodatni (dlaczego?). Przy nawiasach są potęgi. Przy \(\displaystyle{ x}\) mamy 4 potęgę, przy \(\displaystyle{ (x-2)}\) mamy 2 potęgę, przy \(\displaystyle{ (x-1)}\) pierwszą potęgę, a przy \(\displaystyle{ (x+1)}\) 3 potęgę. Mówimy o pierwiastkach że są wielokrotne: 0 to pierwiastek 4-krotny, 2 to pierwiastek 2-krotny, 1 pierwiastek jednokrotny, -1 pierwiastek 3-krotny. Teraz zaczynamy rysować wykres. Zaczynamy od prawej strony i lecimy z góry do 2. w 2 odbijamy (bo parzysta potęga) przecinamy oś OX w 1 (bo nieparzysta potęga), w zerze znów odbijamy, a w -1 przecinamy i lecimy w górę do nieskończoności. Z wykresu łatwo odczytać rozwiązanie nierówności.