Dla jakich wartości a, b- reszta z dzielenia wielomianów

[mickula]

Dla jakich wartości parametrów a, b reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x)}\):
\(\displaystyle{ W(x)= x^{3} + 4x^{2}+ax+b}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x^{2}+3x+2}\)
\(\displaystyle{ R(x)=-10x-1}\)

Z góry dziękuję za pomoc. Nie było mnie na lekcji i mam teraz problemy z uzupełnieniem

[emil173]

Istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\), tak że \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot P(x)+R(x)}\)

\(\displaystyle{ P(x)= x^{2}+3x+2}\)
sprowadzasz do postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x+1)}\)

Dla \(\displaystyle{ x=-2}\)
Liczysz \(\displaystyle{ (-2)^{3}+4(-2)^{2}-2a+b=Q(x)(-2+2)(-2+1)+10(-2)-1}\)
tak samo robisz dla \(\displaystyle{ x=-1}\)
Następnie układasz układ równań z niewiadomych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
powinno wyjść \(\displaystyle{ a=-5,\, b=1}\)

[MetaXa19]

Przepraszam, że odkopuję temat, ale mam zadanie o tej samej treści, tylko wielomiany inne:

Dla jakich wartości parametrów a, b reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ R(x)}\):
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +(a+b)x ^{3} +2x ^{2} +bx+6}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x ^{2} +4x+3}\)
\(\displaystyle{ R(x)=x+9}\)

No i kolejno zapisuję to tak:

\(\displaystyle{ x ^{4} +(a+b)x ^{3} +2x ^{2} +bx+6 = x ^{2} +4x+3 \cdot Q(x) + (x+9)}\)
Zatem, z delty:
\(\displaystyle{ x ^{4} +(a+b)x ^{3} +2x ^{2} +bx+6 = (x-3)(x-1) \cdot Q(x) + (x+9)}\)
\(\displaystyle{ R(3)=12}\)
\(\displaystyle{ R(1)=10}\)

Podstawiając, mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 12=81+27a+27b+18+3b+6 \\ 10=9+a+2b \end{cases}}\)

Zarówno przeliczając metodą podstawiania, jak i przeciwnych znaków wychodzi mi
\(\displaystyle{ b=5}\)
\(\displaystyle{ a=-9}\)

Z kolei w odpowiedziach mam, że
\(\displaystyle{ b=-3}\)
\(\displaystyle{ a=7}\)

Mógłby ktoś powiedzieć mi gdzie robię błąd? Byłabym z góry bardzo wdzięczna!

[mativ73]

Pierwiastki wyszły ujemne więc w nawiasach plus:
\(\displaystyle{ (x+3)(x+1)}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ P(x)=(x+1)(x+3)}\)

[MetaXa19]

O kurcze, faktycznie... Dziękuję Wam.