Znajdź wszystkie wielomiany spełniające:
\(\displaystyle{ W(0)=2\\
W(x_{1}+x_{2})=W(x_{1})+W(x_{2})+2x_{1}x_{2}-2}\)
Dwie równości
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Dwie równości
Zauważ,że
\(\displaystyle{ W(0)=W(x-x)=2}\)
Czyli \(\displaystyle{ W(x-x)=W(x)+W(-x)-2x^{2}-2=2}\)
Czyli\(\displaystyle{ W(x)+W(-x)=2x^{2}+4}\)Warunek
Rozważmy dowolny wielomian
\(\displaystyle{ W(x)= \sum_{0}^{n}x^{i} \cdot a_{i}}\)
Wtedy\(\displaystyle{ W(-x)=\sum_{i=0}^{n}(-x)^{i} \cdot a_{i}}\)Dodaję stronami i mam
\(\displaystyle{ W(x)+W(-x)= \sum_{i=0}^{n}=(1-1^{n+1})x^{i} \cdot a_{i}}\)
To oznacza w praktyce,że jednomiany o potęgach nieparzystych się wyzerują , a parzystych podwoją się Czyli
W(x)= sum_{i=0}^{k}=x^{2k-1} cdot a_{2k-1} + x^{2} +2
\(\displaystyle{ W(0)=W(x-x)=2}\)
Czyli \(\displaystyle{ W(x-x)=W(x)+W(-x)-2x^{2}-2=2}\)
Czyli\(\displaystyle{ W(x)+W(-x)=2x^{2}+4}\)Warunek
Rozważmy dowolny wielomian
\(\displaystyle{ W(x)= \sum_{0}^{n}x^{i} \cdot a_{i}}\)
Wtedy\(\displaystyle{ W(-x)=\sum_{i=0}^{n}(-x)^{i} \cdot a_{i}}\)Dodaję stronami i mam
\(\displaystyle{ W(x)+W(-x)= \sum_{i=0}^{n}=(1-1^{n+1})x^{i} \cdot a_{i}}\)
To oznacza w praktyce,że jednomiany o potęgach nieparzystych się wyzerują , a parzystych podwoją się Czyli
W(x)= sum_{i=0}^{k}=x^{2k-1} cdot a_{2k-1} + x^{2} +2