Wykaż,że wielomian nie ma pierwiastków całkowitych

[stefekz]

Witam!
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek:
\(\displaystyle{ W(2003)*W(2004)=2005}\)
Wykaż,że wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych.

Jak zabrać się za to zadanie?
Pozdrawiam
Stefekz

[Potekk]

\(\displaystyle{ W(2003) \cdot W(2004)=2005}\)
dowód nie wprost
niech \(\displaystyle{ W(p)=0 \wedge p \in Z}\)
Wtedy z tw bezout'a
\(\displaystyle{ W(x)=(x-p) \cdot Q(x)}\) gdzie Q to wielomian o współczynnikach calkowitych
\(\displaystyle{ W(2003) \cdot W(2004)=2005 \Leftrightarrow (2003-p) \cdot Q(2003) \cdot (2004-p) \cdot Q(2004)=2005}\) przy czym \(\displaystyle{ 2005=5 \cdot 401}\) liczby\(\displaystyle{ 2003-p}\)i \(\displaystyle{ 2004-p}\) są kolejnymi liczbami calkowitymi. A liczby 2005 nie da się rozłożyć na iloczyn 2 kolejnych liczb całkowitych. Sprzeczność

[kuba746]

Jako że jest to mój pierwszy post na forum Witam wszystkich Forumowiczów.

A teraz moje pytanie dotyczące tego zadania:
Jak je rozwiązać bez użycia liczb zespolonych??

[Nakahed90]

Tutaj nie ma liczb zespolonych, Zbiór \(\displaystyle{ Z}\)to są liczby całkowite.

[kuba746]

A to przepraszam. Myślałem że \(\displaystyle{ C}\) to całkowite

[Nakahed90]

Masz rację Zbiór \(\displaystyle{ C}\) to są liczby całkowite, ale także Zbiór \(\displaystyle{ C}\) oznacza liczby zespolone, dla żeby te dwa zbiory się nie myliły, czasami zbiór ten(tj. liczb całkowitych ) jest oznaczany jako \(\displaystyle{ Z}\).