oblicz współczynniki

ania555 · Post autor: **ania555** » 8 mar 2009, o 12:58

Wyznacz współczynniki a, b wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+1}\), jeżeli
\(\displaystyle{ W(x-1)-W(x)=-3x^{2}+3x-6}\)
Obliczyłam W(x-1) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ W(x-1)=(x-1)^{3}+a(x-1)^{2}+b(x-1)+1}\)
ale nie mam pojęcia co dalej

Harry Xin · Post autor: **Harry Xin** » 8 mar 2009, o 13:09

Podstawiasz to (o ile się nie pomyliłaś):

\(\displaystyle{ W(x-1)=(x-1)^{3}+a(x-1)^{2}+b(x-1)+1}\)

do tego wyrażenia:

\(\displaystyle{ W(x-1)-W(x)=-3x^{2}+3x-6}\)

Następnie skracasz co możesz i przyrównujesz współczynniki.

Pokażę na prostym przykładzie:

\(\displaystyle{ ax^{2}-bx=3x^{2}-4x\Rightarrow\begin{cases} a=3 \\ -b=-4\Rightarrow b=4 \end{cases}}\)

ania555 · Post autor: **ania555** » 8 mar 2009, o 14:28

mam jeszcze prośbę, mógłbyś mi rozpisać jak policzyłeś wielomian \(\displaystyle{ W(x-1)-W(x)}\)????
ja to zaczełam obliczać, ale potem się zgubiłam:
\(\displaystyle{ W(x-1)=x^{3}+x^{2}(a-3)+x(3-2a+b)+a-b}\)
\(\displaystyle{ W(x-1)-W(x)= x^{3}+x^{2}(a-3)+x(3-2a+b)+a-b-x^{3}-ax^{2}-bx+1}\)
bo jak jest \(\displaystyle{ W(x-1)-W(x)}\) to ten minus zmienia znak w casłym wyrażeniu W(x), prawda??
No i właśnie na tym etapie stanęłam i nie wiem jak dalej obliczać żeby wyszło \(\displaystyle{ -3x^{2}+3x-6}\)

Harry Xin · Post autor: **Harry Xin** » 8 mar 2009, o 14:38

ania555 pisze:mam jeszcze prośbe, mógłbyś mi rozpisać jak policzyłeś wielomian W(x-1)-W(x)????

Wynik ostateczny masz podany w poleceniu.

ania555 pisze:bo jak jest W(x-1)-W(x) to ten minus zmienia znak w casłym wyrażeniu W(x), prawda??

Zgadza się.

ania555 pisze:No i właśnie na tym etapie stanełam i nie wiem jak dalej obliczać żeby wyszło -3\(\displaystyle{ x^{2}}\)+3x-6

To co Ci wyjdzie jest według polecenia równe powyższemu zapisowi a więc musisz przyrównać współczynniki.

Jeżeli nadal nie wiesz o co chodzi to napisz tu do czego ostatecznie doszłaś (oczywiście zakładam, że nie ma błędu rachunkowego), żebym wiedział odkąd nie wiesz.

A propos używaj \(\displaystyle{ \LaTeX -a}\) do zapisu całych wyrażeń a nie tylko ich fragmentów.

ania555 · Post autor: **ania555** » 8 mar 2009, o 15:14

\(\displaystyle{ W(x-1)-W(x)= x^{3}+x^{2}(a-3)+x(3-2a+b)+a-b-x^{3}-ax^{2}-bx+1}\)
właśnie na tym stanęłam i nie wiem , jak dalej z tego wyjść-- 8 mar 2009, o 15:21 --no i jak to obliczyłam to mi wyszło \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ -3x^{2}}\)+x(3-a-b)-1 }\) i teraz co mam przyrównać, ?? mógłbyś sprawdzić czy się nie pomyliłam??

Harry Xin · Post autor: **Harry Xin** » 8 mar 2009, o 15:35

ania555 pisze:mógłbyś sprawdzić czy się nie pomyliłam??

O ile ja się nie pomyliłem to powinnaś dojść do takiej postaci:

\(\displaystyle{ W\left(x-1\right)-W\left(x\right)=-3x^{2}+\left(3-2a\right)x+\left(a-b-1\right)}\)

Teraz należy przyrównać z początkowym założeniem:

\(\displaystyle{ W\left(x-1\right)-W\left(x\right)=-3x^{2}+3x-6}\)

Porównanie współczynników daje nam następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3-2a=3 \\ a-b-1=-6 \end{cases}}\)

Widzisz teraz jak to się robi?

ania555 · Post autor: **ania555** » 8 mar 2009, o 15:38

tak, wielkie dzieki, teraz rozumiem:))