Pierwistki wielomianu i rozkład na czynniki

barto331 · Post autor: **barto331** » 8 mar 2009, o 11:09

z.10. Rozłoż podane wielomiany na czynniki jak najnizszych stopni:

\(\displaystyle{ a) w(x)= 9x^{4}-6x ^{2} +1}\)
\(\displaystyle{ b)w(x)= x^{3}-2x ^{2} -99x}\)
\(\displaystyle{ c) w(x)= 5(x-1) ^{2} +(x-1)}\)

z.11
Wyznacz pierwiastki wielomianu\(\displaystyle{ F(x)=(x ^{3} +x ^{2} -x-1) ^{2}.}\)

Proszę o pomoc.

maise · Post autor: **maise** » 8 mar 2009, o 11:18

a)

\(\displaystyle{ 9x^4-6x^2+1=3x^2(3x^2-1)-1(3x^2-1)=(3x^2-1)(3x^2-1)=(3x^2-1)^2=(( \sqrt{3} x+1)( \sqrt{3} x-1))^2}\)

b)

\(\displaystyle{ x^3-2x^2-99x=x^2(x+9)-11x(x+9)=(x+9)(x^2-11x)=(x+9)x(x-11)}\)

MiSHu · Post autor: **MiSHu** » 8 mar 2009, o 11:26

Witam,
do pierwszego zadania:
a) \(\displaystyle{ W(x) = 9x^4 - 6x^2 + 1}\)

\(\displaystyle{ W(x) = (3x^2 - 1)^2}\)

\(\displaystyle{ W(x) = \left[ (\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1)\right] ^2}\)

b) \(\displaystyle{ W(x) = x^3-2x^2-99x}\)

\(\displaystyle{ W(x) = x (x^2-2x-99)}\)

\(\displaystyle{ W(x) = x(x+9)(x-11)}\)

c) \(\displaystyle{ W(x) = 5(x-1)^2 + (x-1)}\)

\(\displaystyle{ W(x) = (x-1) \left[ 5(x-1) + 1 \right]}\)

\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(5x-4)}\)

Pozdrawiam, Michał "MiSHu" Jastrzębowski.

maise · Post autor: **maise** » 8 mar 2009, o 11:32

\(\displaystyle{ (x^3+x^2-x-1)^2=((x^2(x+1)-1(x+1))^2=((x^2)(x+1))^2=((x+1)(x-1)(x+1))^2=((x+1)^2(x-1))^2}\)

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 8 mar 2009, o 11:41

\(\displaystyle{ (x^3+x^2-x-1)^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x(x^2-1)+(x^2-1))^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ ((x+1)(x^2-1))^2=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^2 = 0 \vee (x^2-1)^2 =0}\)
\(\displaystyle{ x=-1 \vee x=1}\)

barto331 · Post autor: **barto331** » 8 mar 2009, o 11:56

c)\(\displaystyle{ W(x) = 5(x-1)^2 + (x-1)

W(x) = (x-1) \left[ 5(x-1) + 1 \right]

W(x) = (x-1)(5x-4)}\)

moze mi ktos wyjasnic skad sie wziął taki zapis w drugim rzędzie ?
\(\displaystyle{ W(x) = (x-1) \left[ 5(x-1) + 1 \right]}\)

MiSHu · Post autor: **MiSHu** » 8 mar 2009, o 11:59

Witam,
\(\displaystyle{ (x-1)}\) możemy po prostu wyłączyć przed nawias, tak jakby to było na łatwiejszym przykładzie:
\(\displaystyle{ 5x^2+x = x(5x+1)}\), nie wiem jak to inaczej wytłumaczyć...

Pozdrawiam, Michał "MiSHu" Jastrzębowski.

barto331 · Post autor: **barto331** » 8 mar 2009, o 12:06

wlasnie dalej nie rozumiem ;/ czyli to ze wzoru skroconego mnozenia ? proszę o rozpisanie jesli to mozliwe

MiSHu · Post autor: **MiSHu** » 8 mar 2009, o 12:12

Witam,
w tym akurat przypadku nie używamy wzorów skróconego mnożenia, tylko prostego dzielenia.
Jeśli mamy \(\displaystyle{ 5x^2+x}\) to można inaczej zapisać: \(\displaystyle{ 5x \cdot x + x}\) i jeżeli jakiś czynnik występuje we wszystkich składnikach (jednomianach chyba) to możemy wyłączyć go przed nawias: \(\displaystyle{ x \cdot (5x+1)}\), proszę zauważyć, że jeżeli teraz pomnożymy to co wewnątrz nawiasu otrzymamy to co wcześniej mieliśmy: \(\displaystyle{ 5x \cdot x + 1 \cdot x}\).

Pozdrawiam, Michał "MiSHu" Jastrzębowski.

barto331 · Post autor: **barto331** » 8 mar 2009, o 12:32

juz zrozumialem jak wylączyc ten czynnik w akurat tym przykladzie ale nie rozumiem ostatecznej postaci
w(x)=(x-1)(5x-4) tego(5x-4) skad to ?

MiSHu · Post autor: **MiSHu** » 8 mar 2009, o 12:43

Witam,
wzięło się to z wymnożenia i uporządkowania tego co w całym większym nawiasie:
\(\displaystyle{ \left[ 5(x-1) + 1 \right] = (5x-5)+1 = 5x-5+1 = 5x-4}\)

Pozdrawiam, Michał "MiSHu" Jastrzębowski.

barto331 · Post autor: **barto331** » 8 mar 2009, o 12:58

Dziękuję bardzo za pomoc!