Witam, mam problem z pewną nierównością. Dziś siedziałem nad nią dobre kilka godzin, ale nijak nie mogę tego "ugryźć". Jeśli znajdzie się jakaś dobra duszyczka, która potrafiłaby to zrobić, byłbym bardzo wdzięczny:) Oto nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{ x^{2}-1 } }{x} \le \frac{ \sqrt{6x + 36} }{8}}\)
Z góry dziękuję i pozdrawiam:)
Rozwiąż nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 14 sty 2009, o 13:37
- Podziękował: 8 razy
- dramacik
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 27 lut 2009, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 31 razy
Rozwiąż nierówność
(edytowałem ten post o 21:30, wcześniejsza wersja zawierała błędy)
Nierówność ma sens tylko dla \(\displaystyle{ x \in [-6;-1]}\) lub \(\displaystyle{ x in [1;infty)}\). Najpierw \(\displaystyle{ x in [1;infty)}\). Mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ 8x}\) i podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 8\sqrt{x^2-1} \le x\sqrt{6x+36}}\)
\(\displaystyle{ 64x^2-64 \le 6x^3+36x^2}\)
\(\displaystyle{ 32x^2-32 \le 3x^3+18x^2}\)
\(\displaystyle{ 3x^3-14x^2+32 \ge 0}\)
Okazuje się, że ten wielomian ma bardzo porządne pierwiastki:
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3}, 2, 4}\)
Po narysowaniu wykresu można zobaczyć, że nierówność, przy \(\displaystyle{ x \ge 1}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x in [1;2] cup [4;infty)}\)
Teraz \(\displaystyle{ x \in [-6;1]}\). Po pomnożeniu obu stron przez \(\displaystyle{ 8x}\), które jest ujemne, trzeba zmienić znak nierówności:
\(\displaystyle{ 8\sqrt{x^2-1} \ge x\sqrt{6x+36}}\)
Ponieważ prawa strona jest zawsze niedodatnia, a lewa zawsze nieujemna dla \(\displaystyle{ x \in [-6;-1]}\), więc wszystkie iksy z tego przedziału spełniają nierówność.
Nierówność ma sens tylko dla \(\displaystyle{ x \in [-6;-1]}\) lub \(\displaystyle{ x in [1;infty)}\). Najpierw \(\displaystyle{ x in [1;infty)}\). Mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ 8x}\) i podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 8\sqrt{x^2-1} \le x\sqrt{6x+36}}\)
\(\displaystyle{ 64x^2-64 \le 6x^3+36x^2}\)
\(\displaystyle{ 32x^2-32 \le 3x^3+18x^2}\)
\(\displaystyle{ 3x^3-14x^2+32 \ge 0}\)
Okazuje się, że ten wielomian ma bardzo porządne pierwiastki:
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3}, 2, 4}\)
Po narysowaniu wykresu można zobaczyć, że nierówność, przy \(\displaystyle{ x \ge 1}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x in [1;2] cup [4;infty)}\)
Teraz \(\displaystyle{ x \in [-6;1]}\). Po pomnożeniu obu stron przez \(\displaystyle{ 8x}\), które jest ujemne, trzeba zmienić znak nierówności:
\(\displaystyle{ 8\sqrt{x^2-1} \ge x\sqrt{6x+36}}\)
Ponieważ prawa strona jest zawsze niedodatnia, a lewa zawsze nieujemna dla \(\displaystyle{ x \in [-6;-1]}\), więc wszystkie iksy z tego przedziału spełniają nierówność.