Trzy zadania z pierwiastkami wielomianów

[radzio2019]

1. liczby 3,-1 są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=2x^3+ax^2+bx+30}\)
a)wyznacz wartości współczynników a i b
b)oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu
2. dla jakich wartosci parametru m równanie \(\displaystyle{ x^2+(m-5)x+(m^2+m+1/4)=0}\) ma dwa pierwiastki jednakowych znakow.
3.wyznacz srodek s okregu o promieniu 3cm stycznego do osi y wiedzac ze punkt s lezy na prostej \(\displaystyle{ y=2x-1}\). napisz rownanie tego okregu prosze o pomoc
4. wykonaj działanie:\(\displaystyle{ (x- \frac{4xy}{x+y}+y):( \frac{x}{x+y}- \frac{x}{y-x}- \frac{2xy}{x ^2-y ^{2} } )}\)

[Sarrus]

1. liczby 3,-1 są pierwiastkami wielomianu w(x)=2x3+ax2+bx+30
a)wyznacz wartości współczynników a i b
b)oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu
2. dla jakich wartosci parametru m równanie x2+(m-5)x+(m2+m+1/4)=0 ma dwa pierwiastki jednakowych znakow.
3.wyznacz srodek s okregu o promieniu 3cm stycznego do osi y wiedzac ze punkt s lezy na prostej y=2x-1.prosze o pomoc

\(\displaystyle{ %}\)

\(\displaystyle{ Ad.1 \ Jesli \ liczba \ jest \ pierwiastkiem \ wielomianu \ tzn. \ ze \ ten \ wielomian \ sie \ dla \ niej \ zeruje.}\)

\(\displaystyle{ W(3) \ =}\)
\(\displaystyle{ W(-1) \ =}\)

\(\displaystyle{ Z \ powyzszych \ rownan \ ukladasz \ uklad \ dwoch \ rownan \ i \ wyliczasz \ a \ i \ b}\)

\(\displaystyle{ Ad.2 \ Jezeli \ liczba \ c \ jest \ pierwiastkiem \ wielomianu \ tzn. \ ze \ dany \ wielomian \ jest \ podzielny \ przez \ dwumian \ :}\)
\(\displaystyle{ (x \ - \ a)}\)

\(\displaystyle{ Dzielisz \ konsekwentnie \ i \ wyliczasz \ w \ ten \ sposob \ trzeci \ pieriwastek \ .}\)

[marcinn12]

Zad1

\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+ax^2+bx+30}\)

a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=0 \\ W(-3)=0 \end{cases}}\)
b) Mając te dwa pierwiastki będziesz mógł łatwo sprowadzić do postaci iloczynowej i znaleźć 3 pierw.

Zad2

\(\displaystyle{ x^2+(m-5)x+(m^2+m+ \frac{1}{4} )=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_{1}x_{2}>0 \end{cases}}\)

[radzio2019]

a mozecie troche jasniej cos wiecej bo nadal se nie poradze z gory dziekuje za pomoc

[marcinn12]

1)

\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+ax^2+bx+30}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=0 \\ W(3)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=-2+a-b+30 \\ 0=54+9a+3b+30 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -2+a-b+30=54+9a+3b+30}\)
\(\displaystyle{ 8a+4b+56=0}\)
\(\displaystyle{ 4b=-56-8a}\)
\(\displaystyle{ b=-2a-14}\)

\(\displaystyle{ 0=-2+a-b+30}\)
\(\displaystyle{ 0=-2+a-(-2a-14)+30}\)
\(\displaystyle{ 0=-2+a+2a+14+30}\)
\(\displaystyle{ -3a=42}\)
\(\displaystyle{ a=-14}\)
\(\displaystyle{ b=14}\)

\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}-14x^{2}+14x+30}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-3)(2x^{2}-8x^{2}-10)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-3)(x^{2}-4x-5)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-3)(x+1)(x-5)}\)

Trzeci pierwiastek to 5.

2 za chwilę... może

-- 3 marca 2009, 19:14 --

Zad 2

\(\displaystyle{ \Delta=(m-5)^{2}-4(m^{2}+m+ \frac{1}{4}}}\)
\(\displaystyle{ m^{2}-10m+25-4m^{2}-4m-1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ -3m^{2}-14m+24 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ -3(m- \frac{4}{3})(m+6) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ m \in <-6, \frac{4}{3}>}\)

\(\displaystyle{ \frac{c}{a}>0}\)
\(\displaystyle{ m^{2}+m+ \frac{1}{4}>0}\)
\(\displaystyle{ (m+ \frac{1}{2} )^{2}>0}\)
\(\displaystyle{ m \in R-[- \frac{1}{2}]}\)

Odp:\(\displaystyle{ m \in <-6, -\frac{1}{2}) \cup ( -\frac{1}{2}, \frac{4}{3}>}\)

[radzio2019]

czy ktos wie jak zrogic zad 3 i 4 ?

[marcinn12]

Zadanie 4

\(\displaystyle{ (x- \frac{4xy}{x+y}+y):( \frac{x}{x+y}- \frac{x}{y-x}- \frac{2xy}{x ^2-y ^{2} } )}\)


\(\displaystyle{ (x- \frac{4xy}{x+y}+y)* \frac{1}{ \frac{x}{x+y}- \frac{x}{y-x}- \frac{2xy}{x ^2-y ^{2} }}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x(x+y)}{x+y}-\frac{4xy}{x+y}+ \frac{y(x+y)}{x+y}}{ \frac{x(x-y)}{x^{2}-y^{2}}- \frac{x(y+x)}{x^{2}-y^{2}}- \frac{2xy}{x ^2-y^{2}}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x^{2}+xy-4xy+xy+y^{2}}{x+y} }{ \frac{x^{2}-xy-xy-x^{2}-2xy}{x^{2}-y^{2}} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+xy-4xy+xy+y^{2}}{x+y} * \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}-xy-xy-x^{2}-2xy}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{x+y} * \frac{(x-y)(x+y)}{-4xy}}\)

\(\displaystyle{ (x-y)^{2}* \frac{x-y}{-4xy}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x-y)^{3}}{-4xy}}\)

I to chyba tyle tutaj da się zrobić...

Zad 3

Środek okręgu będzie miał wspołrzędne \(\displaystyle{ S(x,2x-1)}\) i odległość od osi y jest rowna promienowi czyli 3. Ze wzoru na odległość punktu od prostej.

\(\displaystyle{ d(S,l)=r}\)
Podstawiasz sobie i obliczasz...

\(\displaystyle{ d= \frac{|Ax+By+C|}{ \sqrt{A^{2}-B^{2}} }}\)
\(\displaystyle{ 3= \frac{|x|}{ \sqrt{1} }}\)
\(\displaystyle{ |x|=3}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)
lub
\(\displaystyle{ x=-3}\)

\(\displaystyle{ S_{1}=(3,5)}\)
\(\displaystyle{ S_{2}=(-3,-7)}\)

[dzolka]

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x(x+y)}{x+y}-\frac{4xy}{x+y}+ \frac{y(x+y)}{x+y}}{ \frac{x(x-y)}{x^{2}-y^{2}}- \frac{x(y+x)}{x^{2}-y^{2}}- \frac{2xy}{x ^2-y^{2}}}}\)

W mianowniku jest błąd zabrakło zmiany znaku (pierwszy znak miedzy miedzy ulamkami w mianowniku to +) powinno byc tak i cala reszta obliczen sie zmieni.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{x(x+y)}{x+y}-\frac{4xy}{x+y}+ \frac{y(x+y)}{x+y}}{ \frac{x(x-y)}{x^{2}+y^{2}}+ \frac{x(y+x)}{x^{2}-y^{2}}- \frac{2xy}{x ^2-y^{2}}}}\)


Wg mnie tak

\(\displaystyle{ \left( \frac{x(x+y)-4xy+y(x+y)}{x+y} \right) : \left( \frac{x}{x+y}+ \frac{x}{x-y}- \frac{2xy}{x^2-y^2} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{x^2+xy-4xy+xy+y^2}{x+y}\right): \left( \frac{x(x-y)}{x^2-y^2}+ \frac{x(x+y)}{x^2-y^2} - \frac{2xy}{x^2-y^2} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \left( x-y\right)^2 }{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^2-y^2}{2x^2-2xy} \right)= \frac{(x-y)^2}{2x}}\)