Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań (z klarownym objaśnieniem, jeśli to możliwe).
1. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4}-6x^{2}+m=0}\) ma cztery różne rozwiązania ? (rozwiązanie wynosi me(0,9) )
2. Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{4}+mx^{2}-m=0}\) jest dwuelementowy ? (rozwiązanie wynosi me(0, +nieskończoności) u {-4})
Równania z parametrem
-
bartek9011
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 24 wrz 2008, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
-
mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Równania z parametrem
1.
Równanie I: \(\displaystyle{ x^4-6x^2+m=0 \wedge x \in R}\)
Wprowadzam zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ x^2=t > 0}\)
Równanie I jest równoważne równaniu II: \(\displaystyle{ t^2-6t+m=0 \wedge t>0}\)
Aby równanie I miało 4 różne rozwiązania, równanie II musi mieć 2 różne rozwiązania, należące do dziedziny równania II.
Potrzebne warunki:
\(\displaystyle{ \Delta_t>0}\) - aby równanie II miało 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ t_1t_2>0}\) - aby rozwiązania równania II należały do dziedziny: \(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t=36-4m>0 \Leftrightarrow 9-m>0 \Leftrightarrow m<9}\)
\(\displaystyle{ t_1t_2= \frac{m}{1} >0 \Leftrightarrow m>0}\)
Oba warunki muszą być spełnione, zatem: \(\displaystyle{ m>0 \wedge m<9 \Leftrightarrow m \in (0;9)}\)-- 1 marca 2009, 17:23 --2.
Równanie I: \(\displaystyle{ x^4+mx^2-m=0 \wedge x \in R}\)
Wprowadzam zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ x^2=t>0}\)
Równanie I jest równoważne równaniu II: \(\displaystyle{ t^2+mt-m=0 \wedge t>0}\)
Aby równanie I miało 2 różne rozwiązania, równanie II musi mieć I rozwiązanie, należące do dziedziny równania II.
Potrzebne warunki w przypadku I:
\(\displaystyle{ \Delta_t=0}\) - aby równanie II miało 1 rozwiązanie
\(\displaystyle{ t_0= \frac{-b}{2a} >0}\) - aby rozwiązanie równania II należało do dziedziny t>0
\(\displaystyle{ \Delta_t=0 \Leftrightarrow m^2+4m=m(m+4)=0 \Leftrightarrow m=-4 \vee m=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m}{2}>0 \Leftrightarrow m<0}\)
Oba warunki muszą być spełnione, więc: \(\displaystyle{ (m=-4 \vee m=0) \wedge m<0 \Leftrightarrow m=-4}\)
Potrzebne warunki w przypadku II:
\(\displaystyle{ \Delta_t>0}\) - aby równanie II miało 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ t_1t_2= \frac{c}{a} <0}\) - aby rozwiązania były przeciwnych znaków (jedno ujemne, jedno dodatnie, wtedy tylko to dodatnie nalezy do dziedziny t>0)
\(\displaystyle{ \Delta_t>0 \Leftrightarrow m \in (- \infty ;-4)\cup(0;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m}{1} <0 \Leftrightarrow m>0}\)
Oba warunki muszą być spełnione, więc: \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-4)\cup(0;+ \infty ) \wedge m>0 \Leftrightarrow m \in (0;+ \infty )}\)
I \(\displaystyle{ \vee}\) II:
\(\displaystyle{ m=-4 \vee m \in (0;+ \infty ) \Leftrightarrow m \in (0;+ \infty )\cup\{-4\}}\)
Równanie I: \(\displaystyle{ x^4-6x^2+m=0 \wedge x \in R}\)
Wprowadzam zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ x^2=t > 0}\)
Równanie I jest równoważne równaniu II: \(\displaystyle{ t^2-6t+m=0 \wedge t>0}\)
Aby równanie I miało 4 różne rozwiązania, równanie II musi mieć 2 różne rozwiązania, należące do dziedziny równania II.
Potrzebne warunki:
\(\displaystyle{ \Delta_t>0}\) - aby równanie II miało 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ t_1t_2>0}\) - aby rozwiązania równania II należały do dziedziny: \(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t=36-4m>0 \Leftrightarrow 9-m>0 \Leftrightarrow m<9}\)
\(\displaystyle{ t_1t_2= \frac{m}{1} >0 \Leftrightarrow m>0}\)
Oba warunki muszą być spełnione, zatem: \(\displaystyle{ m>0 \wedge m<9 \Leftrightarrow m \in (0;9)}\)-- 1 marca 2009, 17:23 --2.
Równanie I: \(\displaystyle{ x^4+mx^2-m=0 \wedge x \in R}\)
Wprowadzam zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ x^2=t>0}\)
Równanie I jest równoważne równaniu II: \(\displaystyle{ t^2+mt-m=0 \wedge t>0}\)
Aby równanie I miało 2 różne rozwiązania, równanie II musi mieć I rozwiązanie, należące do dziedziny równania II.
Potrzebne warunki w przypadku I:
\(\displaystyle{ \Delta_t=0}\) - aby równanie II miało 1 rozwiązanie
\(\displaystyle{ t_0= \frac{-b}{2a} >0}\) - aby rozwiązanie równania II należało do dziedziny t>0
\(\displaystyle{ \Delta_t=0 \Leftrightarrow m^2+4m=m(m+4)=0 \Leftrightarrow m=-4 \vee m=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m}{2}>0 \Leftrightarrow m<0}\)
Oba warunki muszą być spełnione, więc: \(\displaystyle{ (m=-4 \vee m=0) \wedge m<0 \Leftrightarrow m=-4}\)
Potrzebne warunki w przypadku II:
\(\displaystyle{ \Delta_t>0}\) - aby równanie II miało 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ t_1t_2= \frac{c}{a} <0}\) - aby rozwiązania były przeciwnych znaków (jedno ujemne, jedno dodatnie, wtedy tylko to dodatnie nalezy do dziedziny t>0)
\(\displaystyle{ \Delta_t>0 \Leftrightarrow m \in (- \infty ;-4)\cup(0;+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m}{1} <0 \Leftrightarrow m>0}\)
Oba warunki muszą być spełnione, więc: \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-4)\cup(0;+ \infty ) \wedge m>0 \Leftrightarrow m \in (0;+ \infty )}\)
I \(\displaystyle{ \vee}\) II:
\(\displaystyle{ m=-4 \vee m \in (0;+ \infty ) \Leftrightarrow m \in (0;+ \infty )\cup\{-4\}}\)