Dla jakich wartości parametru rzeczywistego a różnego od zera pierwiastki wielomianu
\(\displaystyle{ w(x)=a^2x^3-a^2x^2-(a^2+1)x+a^2-1}\) są trzema pierwszymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego? dla każdego otrzymanego przypadku obliczyć czwarty wyraz ciągu
zadanie z dzieleniem i ciągiem
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
zadanie z dzieleniem i ciągiem
Skoro \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to podzielimy nasz wielomian przez \(\displaystyle{ a^2}\) i otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^3-x^2-(1+\frac{1}{a^2})x+1-\frac{1}{a^2}}\)
Wiemy również, że \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})}\) - trzy pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego( inaczej zapisując mamy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{1}+r, x_{1}+2r}\)), więc : \(\displaystyle{ x_{1}+x_{3}=2x_{2}}\).
Teraz korzystamy z wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia (wzory możesz znaleźć w necie, ja już podam tutaj podstawienie) i otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ -(1+\frac{1}{a^2})=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ -1=-x_{1}-x_{2}-x_{3}}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{a^2}=-x_{1}x_{2}x_{3}}\)
Korzystamy z drugiego wzoru, dzielimy przez (-1) i mamy, że:
\(\displaystyle{ 1=x_{1}+x_{3}+x_{2}}\)
\(\displaystyle{ 1=2x_{2}+x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{1}{3}}\)
Skoro mamy jeden z pierwiastków, to podstawiamy go do naszego wielomianu, wiedząc, że ma on być równy zeru i otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{27}-\frac{1}{9}-\frac{1}{3}(1+\frac{1}{a^2})+1-\frac{1}{a^2}=0}\)
\(\displaystyle{ a^2=\frac{9}{4}}\)
Po rozwiązaniu dochodzimy własnie do kwadartu z a, który teraz podstawiamy do trzeciego wzoru, pozatym pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1}{3}-r}\) i \(\displaystyle{ x_{3}=\frac{1}{3}+r}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{a^2}= -(\frac{1}{3}-r) \frac{1}{3} (\frac{1}{3}+r)}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{\frac{9}{4}}=-(\frac{1}{9}-r^2)\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{4}{9}=-\frac{1}{27}+\frac{1}{3}r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2=\frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{4}{3} \vee r=-\frac{4}{3}}\)
No i teraz w zależności od r, otrzymujemy 2 ciągi: \(\displaystyle{ (-1,\frac{1}{3},\frac{5}{3})}\) lub \(\displaystyle{ (\frac{5}{3}, \frac{1}{3},-1)}\). Czyli tymi czwartymi wyrazami mogą być: 3 lub \(\displaystyle{ -\frac{7}{3}}\).
\(\displaystyle{ x^3-x^2-(1+\frac{1}{a^2})x+1-\frac{1}{a^2}}\)
Wiemy również, że \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})}\) - trzy pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego( inaczej zapisując mamy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{1}+r, x_{1}+2r}\)), więc : \(\displaystyle{ x_{1}+x_{3}=2x_{2}}\).
Teraz korzystamy z wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia (wzory możesz znaleźć w necie, ja już podam tutaj podstawienie) i otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ -(1+\frac{1}{a^2})=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ -1=-x_{1}-x_{2}-x_{3}}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{a^2}=-x_{1}x_{2}x_{3}}\)
Korzystamy z drugiego wzoru, dzielimy przez (-1) i mamy, że:
\(\displaystyle{ 1=x_{1}+x_{3}+x_{2}}\)
\(\displaystyle{ 1=2x_{2}+x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{1}{3}}\)
Skoro mamy jeden z pierwiastków, to podstawiamy go do naszego wielomianu, wiedząc, że ma on być równy zeru i otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{27}-\frac{1}{9}-\frac{1}{3}(1+\frac{1}{a^2})+1-\frac{1}{a^2}=0}\)
\(\displaystyle{ a^2=\frac{9}{4}}\)
Po rozwiązaniu dochodzimy własnie do kwadartu z a, który teraz podstawiamy do trzeciego wzoru, pozatym pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1}{3}-r}\) i \(\displaystyle{ x_{3}=\frac{1}{3}+r}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{a^2}= -(\frac{1}{3}-r) \frac{1}{3} (\frac{1}{3}+r)}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{\frac{9}{4}}=-(\frac{1}{9}-r^2)\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{4}{9}=-\frac{1}{27}+\frac{1}{3}r^2}\)
\(\displaystyle{ r^2=\frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{4}{3} \vee r=-\frac{4}{3}}\)
No i teraz w zależności od r, otrzymujemy 2 ciągi: \(\displaystyle{ (-1,\frac{1}{3},\frac{5}{3})}\) lub \(\displaystyle{ (\frac{5}{3}, \frac{1}{3},-1)}\). Czyli tymi czwartymi wyrazami mogą być: 3 lub \(\displaystyle{ -\frac{7}{3}}\).