bardzo proszę o rozwiązanie potrzebne na jutro rano
zad na podst twierdzenia jeśli \(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{3}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{3}+bx^{2}+cx+d=0}\) to
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b}\)
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}\cdot x_{3}+x_{3}\cdot x_{1}=c}\)
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=-d}\)
wiedząc ze równanie \(\displaystyle{ x^3 -9x+4=0}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste
a) oblicz sumę pierwiastków
b) oblicz iloczyn kwadratów jego pierwiastków
c) oblicz sumę odwrotności pierwiastków tego równania
d) ustal ile ma dodatnich pierwiastków
zad z wielomianów
zad z wielomianów
Ostatnio zmieniony 28 lut 2009, o 18:12 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa zapisu. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm. Następny taki post zakończy się ostrzeżeniem.
Powód: Poprawa zapisu. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm. Następny taki post zakończy się ostrzeżeniem.
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
zad z wielomianów
a) 0 z \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b}\)
b) 16 z \(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=-d}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}}=\frac{9}{4}}\)
d) iloczyn pierwiastków jest mniejszy od 0 zatem liczba pierwiastków dodatnich musi być parzysta i wynosi albo 0 albo 2 (tak, aby tych ujemnych była nieparzysta ilość). z drugiej strony gdyby wszystkie były ujemne to ich suma byłaby mniejsza od 0 (a jest równa 0).. stąd wielomian posiada 2 pierwiastki dodatnie i jeden ujemny.
b) 16 z \(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=-d}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}}=\frac{9}{4}}\)
d) iloczyn pierwiastków jest mniejszy od 0 zatem liczba pierwiastków dodatnich musi być parzysta i wynosi albo 0 albo 2 (tak, aby tych ujemnych była nieparzysta ilość). z drugiej strony gdyby wszystkie były ujemne to ich suma byłaby mniejsza od 0 (a jest równa 0).. stąd wielomian posiada 2 pierwiastki dodatnie i jeden ujemny.
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
zad z wielomianów
jasne prosić zawsze można mamy:
(*)\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=-4}\)
(**)\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}\)
i teraz tak:
wiemy, że wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste..
- jeśli wszystkie byłyby dodatnie - odpada bo ich iloczyn byłby dodatni a z (*) mamy inaczej;
- 2 mogą być dodatnie i jeden ujemny - to jest poprawna odpowiedź;
- 1 dodatni i dwa ujemne - ale wtedy znowu ich iloczyn byłby dodatni;
- wszystkie ujemne - iloczyn byłby ujemny, to się zgadza, ale gdyby wszystkie były ujemne to ich suma również byłaby ujemna, a z (**) mamy że jest równa 0.. musi więc istnieć pierwiastek dodatni.
wyrzucając 3 przypadki został nam się jeden mozliwy - 2 dodatnie i 1 ujemny.
(*)\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=-4}\)
(**)\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}\)
i teraz tak:
wiemy, że wielomian ma 3 pierwiastki rzeczywiste..
- jeśli wszystkie byłyby dodatnie - odpada bo ich iloczyn byłby dodatni a z (*) mamy inaczej;
- 2 mogą być dodatnie i jeden ujemny - to jest poprawna odpowiedź;
- 1 dodatni i dwa ujemne - ale wtedy znowu ich iloczyn byłby dodatni;
- wszystkie ujemne - iloczyn byłby ujemny, to się zgadza, ale gdyby wszystkie były ujemne to ich suma również byłaby ujemna, a z (**) mamy że jest równa 0.. musi więc istnieć pierwiastek dodatni.
wyrzucając 3 przypadki został nam się jeden mozliwy - 2 dodatnie i 1 ujemny.
zad z wielomianów
Bardzo proszę jeśli ktos umie rozwiązać te przykłady od podstaw:
1) (X3+9x2+17x-12):(x+4)
2) (6x3-19x2+7x+2):(-4x+3)
3) (16x4-32x3+24x2-8x+1):(2x-1)
1) (X3+9x2+17x-12):(x+4)
2) (6x3-19x2+7x+2):(-4x+3)
3) (16x4-32x3+24x2-8x+1):(2x-1)